Ch. Ausoni, M. Röer WWU Münster, Wintersemester 2010/11

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE

Blatt 9^{∗}, 03.12.2010

Aufgabe 9.1. Sei X ein Hausdorff-Raum und sei G eine endliche Untergruppe der Homöomorphismengruppe von X. Sei 1 ∈ G die Identität von X. Sei angenommen, dass die Wirkung von G auf X frei ist (also falls g ∈ G und ein x ∈ X mit g(x) = x existiert, dann gilt g = 1). Beweise, dass die Quotientenabbildung X → X/G eine Überlagerung ist.

Aufgabe 9.2. Betrachte S^{3} = { (z_{1}, z_{2}) ∈ ℂ^{2} | |z_{1}|^{2} + |z_{2}|^{2} = 1 }. Seien n, k ∈ ℕ positiv und teilerfremd. Sei ζ_{n} = e^{\frac{2πi}{n}} ∈ ℂ und sei h : S^{3} → S^{3} die stetige Abbildung, die durch h(z_{1}, z_{2}) = (z_{1}ζ_{n}, z_{2}ζ_{n}^{k}) definiert ist.

(a) Beweise, dass h eine Untergruppe G der Homöomorphismengruppe von S^{3} erzeugt, die zyklisch von der Ordnung n ist.

(b) Sei L(n, k) der Raum der Bahnen S^{3}/G (mit der Quotiententopologie versehen). Beweise, dass die Quotienten Abbildung S^{3} → L(n, k) eine Überlagerung ist. Berechne die Fundamentalgruppe von L(n, k).

(c) Zeige: wenn L(n, k) und L(n′, k′) homotopie-äquivalent sind, dann gilt n = n′.

Definition. Der Raum L(n, k) heißt der Linsenraum vom Typ (n, k).

Aufgabe 9.3. Für jede Gruppe G aus der folgenden Liste, finde einen punktierten Raum (X, x_{0}), so dass G und π_{1}(X, x_{0}) isomorph sind.

(a) ℤ/n_{1} × ⋯ × ℤ/n_{k}, für k ≥ 1 und n_{1}, …, n_{k} ∈ ℕ (möglicherwiese 0).

(b) ℤ/n_{1} ∗ ⋯ ∗ ℤ/n_{k}, für k ≥ 1 und n_{1}, …, n_{k} ∈ ℕ (möglicherwiese 0).

Aufgabe 9.4. Seien m, n ∈ ℕ. Wieviele Elemente gibt es in Δ([m], [n]) ?

∗Abgabe : Montag 13.12.2010 bis 12 Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie-WS10.html