http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 10^{∗}, 12.12.2008

Aufgabe 10.1. Sei X ein Raum und α : [0, 1] → X ein Weg in X. Sei ϕ : [0, 1] → [0, 1] eine stetige Abbildung mit ϕ(0) = 0 und ϕ(1) = 1. Beweise, dass α und α ∘ ϕ homotop relativ zu den Endpunkten sind.

Aufgabe 10.2. Sei X ein Weg-zusammenhängender Raum und a, b ∈ X. Beweise, dass π_{1}(X, a) genau dann Abelsch ist, wenn für alle σ, τ ∈ Ω(X; a, b) die Homomorphismen

T_{σ} und T_{τ} : π_{1}(X, a) → π_{1}(X, b)

gleich sind.

Aufgabe 10.3. Sei X ein Raum, A ein Retrakt von X (Aufgabe 9.4) und a_{0} ∈ A. Beweise, dass es eine spaltende kurze exakte Sequenz von Gruppen

1 → N → π_{1}(X, a_{0}) → π_{1}(A, a_{0}) → 1

gibt.

Aufgabe 10.4. Seien S^{1} = {z ∈ ℂ | |z| = 1} und D^{2} = {z ∈ ℂ | |z| ≤ 1} der Kreis und die Kreisscheibe, mit der Teilraumtopologie versehen. Sei 1 ∈ ℂ als Basispunkt von S^{1} gewählt. Sei

q : [0, 1] → S^{1}

die Quotientenabbildung, die durch q(t) = e^{2tπi} gegeben ist. Ferner sei (X, x_{0}) ein punktierter Raum. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Jede Schleife α ∈ Ω(X, x_{0}) faktorisiert als α = ᾱ ∘ q für eine stetige Abbildung ᾱ : S^{1} → X, und α ↦ ᾱ definiert eine bijektive Abbildung von Ω(X, x_{0}) in die Menge der stetigen punktierten Abbildungen (S^{1}, 1) → (X, x_{0}).

(b) Es gilt α ∼ c_{x_{0}} in Ω(X, x_{0}) genau dann, wenn es eine Erweiterung h : D^{2} → X von ᾱ : S^{1} → X gibt (also ᾱ = h ∘ j, wobei j : S^{1} → D^{2} die Inklusion ist).

Aufgabe 10.5. Sei (G, ⋆) eine topologische Gruppe mit e als neutralem Element. Sei c_{e} die konstante Schleife in G mit Bild {e}. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Operation Ω(G, e) × Ω(G, e) → Ω(G, e), die durch (α, β) ↦ α ∗ β mit (α ∗ β)(t) = (α(t)) ⋆ (β(t)) für alle t ∈ [0, 1] gegeben ist, definiert eine Gruppenstruktur auf Ω(G, e) mit c_{e} als neutralem Element.

(b) Die Operation π_{1}(G, e) × π_{1}(G, e) → π_{1}(G, e), ([α], [β]) ↦ [α] ∗ [β] := [α ∗ β] ist wohldefiniert und ist eine Gruppenstruktur auf π_{1}(G, e).

(c) Es gilt [α][β] = [α] ∗ [β] für alle [α], [β] ∈ π_{1}(G, e) (Hinweis : berechne [αc_{e}] ∗ [c_{e}β]).

(d) Die Gruppe π_{1}(G, e) ist Abelsch.

Vorsetzung auf der Rückseite.

∗Abgabe : Montag 5.01.2009 vor der Vorlesung.

Aufgabe 10.6 (Widerholungsaufgabe). Betrachte die folgenden Eigenschaften :

(1) zusammenhängend,

(2) Weg-zusammenhängend,

(3) kompakt,

(4) lokal-kompakt Hausdorff,

(5) Hausdorff,

(6) regulär,

(7) vollständig regulär,

(8) normal,

(9) erst-abzählbar,

(10) zweit-abzählbar,

(11) Lindelöf,

(12) Existenz einer abzählbaren dichten Teilmenge,

(13) metrisierbar.

Welche dieser Eigenschaften bleiben durch die folgenden Konstruktionen erhalten ?

(a) Teilraum,

(b) offener Teilraum,

(c) abgeschlossener Teilraum,

(d) endliches Produkt,

(e) abzählbares Produkt,

(f) allgemeines Produkt,

(g) Bild einer stetigen Abbildung,

(h) Quotient.

Welche dieser Eigenschaften haben die folgenden Räume ?

(i) Ein metrischer Raum,

(j) ℝ, ℝ^{n}, ℝ^{ℕ} mit der Produkttopologie,

(k) Die Räume A, B und C aus Aufgabe 5.5,

(l) ℝ_{ℓ} und ℝ_{ℓ} × ℝ_{ℓ}.

Bemerkung : Manche dieser Fragen wurden nicht früher bearbeitet. Beantworte so viele, wie du möchtest.

Frohe Festtage und einen guten Rutsch ins neues Jahr !