http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 11^{∗}, 2.01.2009

Aufgabe 11.1. Sei X ein nicht leerer Weg-zusammenhängender Raum. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) X ist einfach-zusammenhängend.

(b) Jede stetige Abbildung S^{1} → X ist homotop zu einer konstanten Abbildung.

(c) Jede stetige Abbildung S^{1} → X hat eine Erweiterung D^{2} → X. Sei Y ein nicht leerer Raum. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) Y ist einfach-zusammenhängend.

(b) Für jedes Paar f, g : S^{1} → Y von stetigen Abbildungen gilt, dass f und g homotop sind.

Aufgabe 11.2. Sei a = (−1, 0), b = (1, 0), X = ℝ^{2} \ {a, b} und sei A ⊂ X durch

A = {(x, y) ∈ X | ((x + 1)^{2} + y^{2} − 1)((x − 1)^{2} + y^{2} − 1) = 0}

definiert (also ist A die Vereinigung der Kreise mit Radius 1 und Zentrum a und b). Seien A und X mit der Topologie eines Teilraums des Euklidischenraums ℝ^{2} versehen. Beweise, dass A ein Deformationsretrakt von X ist.

Aufgabe 11.3. Sei G eine topologische Gruppe mit neutralem Element e, und sei Γ ⊂ G eine Teilgruppe.

(a) Beweise, dass Γ genau dann eine diskrete Teilmenge von G ist, wenn es eine offene Umgebung U von e in G mit U ∩ Γ = {e} gibt.

(b) Sei angenommen, dass Γ eine diskrete Teilgruppe von G ist. Die Gruppe Γ wirkt rechts (bzw. links) auf G durch Multiplikation, und sei G/Γ (bzw. Γ\G) die Menge der Bahnen dieser Wirkung, mit der Quotiententopologie versehen. Beweise, dass die kanonischen Projektionen G → G/Γ und G → Γ\G Überlagerungen sind.

Aufgabe 11.4. Sei k ∈ ℤ \ {0}. Beweise, dass die Abbildung d_{k} : S^{1} → S^{1}, z ↦ z^{k} eine Überlagerung ist.

Aufgabe 11.5. Sei p : E → B eine Überlagerung. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Ist B entweder - Hausdorff,

- regulär,

- vollständig-regulär, oder

- lokal-kompakt Hausdorff, dann ist es E ebenso.

(b) Ist B kompakt und ist p^{−1}({b}) endlich für alle b ∈ B, so ist E kompakt.

∗Abgabe : Montag 12.01.2009 vor der Vorlesung.