http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 12^{∗}, 9.01.2009

Aufgabe 12.1. Seien p : E → X und p′ : E′ → X zwei Überlagerungen eines Raums X, und sei ϕ : E → E′ ein Morphismus von Überlagerungen. Beweise, dass ϕ eine Überlagerung ist.

Aufgabe 12.2. Sei ∼ die Äquivalenzrelation auf ℝ^{2}, die von

(x, y) ∼ (x, y + 1) und (x, y) ∼ (x + 1, −y)

erzeugt ist. Sei K der Quotientenraum ℝ^{2}/ ∼ und sei p : ℝ^{2} → K die kanonische Quotientenabbildung. Beweise, dass p eine Überlagerung ist.

Definition. Der Raum K heißt die Kleinsche Flasche.

Aufgabe 12.3. Sei p : E → X eine Überlagerung, wobei X Weg-zusammenhängend ist. Beweise, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

(a) E ist Weg-zusammenhängend.

(b) Für jeden Punkt x_{0} ∈ X ist die Wirkung von π_{1}(X, x_{0}) auf p^{−1}(x_{0}) transitiv.

(c) Es gibt einen Punkt x_{0} ∈ X, so dass die Wirkung von π_{1}(X, x_{0}) auf p^{−1}(x_{0}) transitiv ist.

Aufgabe 12.4. Sei G eine topologische Gruppe mit neutralem Element 1, und sei

p : E → G

eine Überlagerung mit E zusammenhängend und lokal Weg-zusammenhängend. Sei e ∈ p^{−1}(1) gewählt. Beweise, dass es auf E eine einzige Gruppenstruktur mit e als neutralem Element gibt, so dass E mit seiner Topologie eine topologische Gruppe ist, und p ein Homomorphismus von Gruppen ist. Ist G Abelsch, so ist E auch Abelsch.

Aufgabe 12.5. Sei k ∈ ℤ \ {0}, und sei d_{k} : S^{1} → S^{1} die Abbildung aus Aufgabe 11.4. Sei h : S^{1} → S^{1} eine stetige Abbildung mit h(1) = 1 und h(−x) = −h(x) für alle x ∈ S^{1}.

(a) Zeige, dass eine stetige Abbildung h̄ : S^{1} → S^{1} mit d_{2}h = h̄d_{2} existiert :

\xymatrix{S^{1} \ar[r]^{h} \ar[d]_{d_{2}} & S^{1} \ar[d]^{d_{2}} \\ S^{1} \ar[r]^{h̄} & S^{1}}

(b) Sei α ein Weg von 1 nach −1 in S^{1}. Beweise, dass [d_{2}α] ≠ 0 in π_{∗}(S^{1}, 1) gilt.

(c) Beweise, dass h̄_{∗} : π_{∗}(S^{1}, 1) → π_{∗}(S^{1}, 1) injektiv ist.

(d) Bestimme (d_{k})_{∗} : π_{∗}(S^{1}, 1) → π_{∗}(S^{1}, 1).

(e) Beweise, dass h_{∗} : π_{∗}(S^{1}, 1) → π_{∗}(S^{1}, 1) injektiv ist.

∗Abgabe : Montag 19.01.2009 vor der Vorlesung.