http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 13^{∗}, 16.01.2009

Aufgabe 13.1. Sei X ein nicht leerer, zusammenhängender und lokal Weg-zusammenhängen-der Raum. Sei x_{0} ∈ X, und sei angenommen, dass π_{1}(X, x_{0}) eine endliche Gruppe ist. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Jede stetige Abbildung f : X → S^{1} ist homotop zu einer konstanten Abbildung.

(b) Für n ≥ 2 sind S^{n} und ℝP^{n} Beispiele von solchen X.

Aufgabe 13.2. Sei p : E → X eine Überlagerung, und sei f : Y → X stetig. Sei f^{∗}E der Teilraum von Y × E, der durch f^{∗}E = {(y, e) | f(y) = p(e)} definiert ist. Sei q : f^{∗}E → Y die Einschränkung der Projektion Y × E → Y. Beweise, dass q : f^{∗}E → Y eine Überlagerung ist.

Aufgabe 13.3. Seien q : F → E und p : E → X Überlagerungen, so dass mindestens eine der folgenden Eigenschaften gilt :

(a) Für alle x ∈ X ist p^{−1}(x) endlich.

(b) X besitzt eine universelle Überlagerung. Beweise, dass pq : F → X dann eine Überlagerung ist.

Aufgabe 13.4. Sei T^{2} = S^{1} × S^{1} der 2-dimensionale Torus mit Basis-Punkt x_{0} = (1, 1). Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Betrachte ℤ^{2} als diskrete Untergruppe der topologischen Gruppe ℝ^{2}. Dann existiert ein Homöomorphismus ℝ^{2}/ℤ^{2} ≅ T^{2}, und die kanonische Projektion p : ℝ^{2} → ℝ^{2}/ℤ^{2} ist eine universelle Überlagerung.

(b) π_{1}(T, x_{0}) und ℤ^{2} sind Isomorph.

(c) Ist φ : π_{1}(T, x_{0}) → π_{1}(T, x_{0}) ein Isomorphismus von Gruppen, so existiert ein Homöomorphismus f : T → T mit f(x_{0}) = x_{0} und mit f_{∗} = φ : π_{1}(T, x_{0}) → π_{1}(T, x_{0}).

Aufgabe 13.5. Diese Aufgabe ist ein Fortsetzung der Aufgabe 12.5. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Ist h : S^{1} → S^{1} stetig mit h(−x) = −h(x) für alle x ∈ S^{1}, so ist h nicht null-homotop (also nicht homotop zu einer konstanten Abbildung).

(b) Sei f : S^{2} → S^{1} stetig. Dann gibt es x ∈ S^{2} mit f(−x) ≠ −f(x). Hinweis : Betrachte die Einschränkung von f auf dem Äquator S^{1} = S^{2} ∩ (ℝ^{2} × {0}), und zeige, dass sie null-homotop ist.

(c) Beweise den folgenden Satz für n = 0, 1 und 2.

Theorem von Borsuk-Ulam. Sei n ∈ ℕ. Ist f : S^{n} → ℝ^{n} stetig, so existiert x ∈ S^{n} mit f(x) = f(−x). Hinweis : gilt f(x) ≠ f(−x), so betrachte \frac{f(x)−f(−x)}{∥f(x)−f(−x)∥}.

∗Abgabe : Montag 26.01.2009 vor der Vorlesung.