http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 2^{∗}, 17.10.2008

Aufgabe 2.1. Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei d̄ die Metrik auf X, die durch d̄(x, y) = min{d(x, y), 1} definiert ist (siehe Aufgabe 1.4). Sei Ω eine Menge, und sei X^{Ω} die Menge aller Abbildungen Ω → X. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Abbildung ρ : X^{Ω} × X^{Ω} → ℝ, die durch

ρ(f, g) = sup{d̄(f(ω), g(ω)), ω ∈ Ω}

definiert ist, ist eine Metrik auf X^{Ω}.

(b) Sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge in X^{Ω}. Sie konvergiert uniform (gleichmäßig) gegen eine Abbildung f ∈ X^{Ω} genau dann, wenn lim_{n→∞} f_{n} = f im metrischen Raum (X^{Ω}, ρ) gilt.

Definition. Die Metrik ρ in 2.1 heißt die uniforme (gleichmäßige) Metrik auf X^{Ω}.

Aufgabe 2.2. Finde eine Menge X und Metriken d und d′ auf X, sodass die beiden folgenden Aussagen gelten.

(a) Die Identitätsabbildungen (X, d) → (X, d′) und (X, d′) → (X, d) sind stetig.

(b) Es existiert keine positive Funktion c : X → ℝ mit d(x, y) ≤ c(x)d′(x, y) für alle x, y ∈ X.

Aufgabe 2.3. Sei ℓ^{2} = {f ∈ ℝ^{ℕ} | ∑_{n} f(n)^{2} < ∞}, und sei

∥ ∥_{2} : ℓ^{2} → ℝ durch ∥f∥_{2} = ( ∑_{n} f(n)^{2})^{\frac{1}{2}}

definiert.

(a) Zeige, dass (ℓ^{2}, ∥ ∥_{2}) ein normierter Raum ist.

(b) Sei ∥ ∥_{∞} die “Sup” Norm auf ℓ^{2}, also

∥f∥_{∞} = sup{|f(n)|, n ∈ ℕ} .

Sei T_{2} (bzw. T_{∞}) die Topologie auf ℓ^{2}, die von ∥ ∥_{2} (bzw. von ∥ ∥_{∞}) gegeben ist. Beweise, dass T_{2} (strikt) feiner als T_{∞} ist.

Aufgabe 2.4. Sei \underline{n} = \{1, 2, …, n\} ⊂ ℕ, und sei Σ_{n} die symmetrische Gruppe mit n! Elementen (also die Gruppe der Permutationen von \underline{n}).

(a) Wieviele verschiedene Topologien gibt es auf der Menge \underline{3} ?

(b) Wieviele Topologien T gibt es auf der Menge \underline{n} mit der Eigenschaft, dass jedes σ ∈ Σ_{n}

als Abbildung \underline{n} → \underline{n} stetig (bezüglich T ) ist ? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 2.5. Sei (V, ∥ ∥) ein normierter Raum mit V ≠ {0}, und sei d die zugehörige Metrik. Beweise, dass eine offene Kugel in (V, d) ein eindeutig bestimmtes Zentrum und einen eindeutig bestimmten Radius besitzt.

∗Abgabe : Montag 27.10.2008 vor der Vorlesung.