http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 3^{∗}, 24.10.2008

Aufgabe 3.1. Sei {T_{α} | α ∈ I} eine Menge von Topologien auf einer Menge X.

(a) Zeige, dass ∩_{α∈I}T_{α} eine Topologie auf X ist. Ist ∪_{α∈I}T_{α} auch eine Topologie auf X?

(b) Beweise : Es gibt eine eindeutig bestimmte feinste Topologie auf X, die gröber als T_{α} für alle α ∈ I ist.

(c) Beweise : Es gibt eine eindeutig bestimmte gröbste Topologie auf X, die feiner als T_{α} für alle α ∈ I ist.

Aufgabe 3.2. Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Für i ∈ \underline{n} = \{1, …, n\} und r ∈ ℚ definieren wir

S^{+}(i, r) = {x ∈ ℝ^{n} | x_{i} > r} und S^{−}(i, r) = {x ∈ ℝ^{n} | x_{i} < r} .

Beweise, dass S = \{S^{+}(i, r) | i ∈ \underline{n}, r ∈ ℚ\} ∪ \{S^{−}(i, r) | i ∈ \underline{n}, r ∈ ℚ\} eine Sub-Basis der Euklidischen Topologie auf ℝ^{n} ist.

Aufgabe 3.3. Seien (X_{1}, T_{1}) und (X_{2}, T_{2}) topologische Räume, und seien p_{1} : X_{1} × X_{2} → X_{1} und p_{2} : X_{1} × X_{2} → X_{2} die Projektionen. Sei X_{1} × X_{2} mit der Produkttopologie versehen. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Abbildungen p_{1} und p_{2} sind stetig.

(b) Sei Y ein topologischer Raum. Eine Abbildung f : Y → X_{1} × X_{2} ist genau dann stetig, wenn p_{1} ∘ f : Y → X_{1} und p_{2} ∘ f : Y → X_{2} stetig sind.

(c) Die Produkttopologie ist die gröbste Topologie auf X_{1} × X_{2} mit der Eigenschaft, dass p_{1} und p_{2} stetig sind.

Aufgabe 3.4. Sei ℝ mit der Euklidischen Topologie versehen. Sei C(ℝ) die Menge aller stetigen Funktionen ℝ → ℝ, und sei P = {p ∈ C(ℝ) | p(x) > 0 für alle x ∈ ℝ}. Für p ∈ P und f ∈ C(ℝ) sei

U(p, f) = {g ∈ C(ℝ) | |f(x) − g(x)| < p(x) für alle x ∈ ℝ} .

Sei P die Topologie auf C(ℝ), die von der Sub-Basis {U(p, f) | p ∈ P, f ∈ C(ℝ)} erzeugt ist. Sei 0 ∈ C(ℝ) die konstante Funktion mit Wert 0.

(a) Beweise, dass 0 ein Berührungspunkt von P ist.

(b) Beweise, dass es keine Folge in P gibt, die gegen 0 konvergiert. Ist (C(ℝ), P) metrisierbar ?

Aufgabe 3.5. Sei C(ℝ) wie in 3.4 (als Menge), und sei T die Topologie der Punktweise-Konvergenz auf C(ℝ).

(a) Sei {f_{n}}_{n∈ℕ} eine Folge in C(ℝ) und sei f ∈ C(ℝ). Beweise, dass {f_{n}}_{n∈ℕ} genau dann punktweise nach f konvergiert, wenn lim_{n→∞} f_{n} = f in (C(ℝ), T ) gilt.

(b) Beweise, dass (C(ℝ), T ) nicht metrisierbar ist.

Hinweis zu (b) : Sei S die Sub-Basis von T , die in der Vorlesung gegeben worden ist, und sei B die zugehörige Basis. Sei {V_{n}}_{n∈ℕ} ⊂ B eine Folge mit 0 ∈ V_{n} für alle n ∈ ℕ. Beweise, dass es eine Umgebung U von 0 gibt, so dass V_{n} ⊄ U für alle n ∈ ℕ gilt. Wende dann den Satz 1.34 an.

∗Abgabe : Montag 3.11.2008 vor der Vorlesung.