http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 4^{∗}, 31.10.2008

Aufgabe 4.1. Sei T ⊂ P(ℝ) durch T = {∅} ∪ {U ⊂ ℝ | ℝ \ U ist abzählbar } definiert. (a) Zeige, dass T eine Topologie auf ℝ ist.

(b) Beschreibe den Abschluss \overline{[0, 1]} des Intervalls [0, 1] in (ℝ, T ).

(c) Sei {x_{n}}_{n∈ℕ} ⊂ ℝ eine Folge. Beweise, dass x genau dann ein Limes von {x_{n}}_{n∈ℕ} in (ℝ, T ) ist, wenn eine Zahl N ∈ ℕ mit x_{n} = x für alle n ≥ N existiert.

(d) Finde einen topologischen Raum Y und eine Abbildung f : (ℝ, T ) → Y, sodass f folgenstetig aber nicht stetig ist.

Definition. Die Topologie T auf ℝ, die in 4.1 definiert ist, heißt die “co-abzählbare” Topologie.

Aufgabe 4.2. Seien X und Y topologische Räume, und sei X × Y mit der Produkttopologie versehen. Seien p_{1} : X × Y → X und p_{2} : X × Y → Y die Projektionen. Beweise die folgenden Aussagen :

(a) Die Projektionen p_{1} und p_{2} sind offen.

(b) Die Projektionen p_{1} und p_{2} sind nicht notwendigerweise abgeschlossen.

(c) Ist Y nicht leer, so ist die Projektion X × Y → X eine Quotientabbildung.

Aufgabe 4.3. Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen, und sei

Γ(f) = {(x, f(x)) ∈ X × Y | x ∈ X}

der Graph von f, versehen mit der Unterraumtopologie der Produkttopologie auf X × Y. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind :

(a) f ist stetig.

(b) Die Einschränkung γ : Γ(f) → X der Projektion X ×Y → X ist ein Homöomorphismus.

Aufgabe 4.4. Finde eine Quotientabbildung (im topologischen Sinn), die weder offen noch abgeschlossen ist.

Aufgabe 4.5. Sei ∼ die Äquivalenzrelation auf ℝ, die durch

x ∼ y ⇔ x − y ∈ ℤ

definiert ist. Seien ℝ und ℂ mit der Euklidischen Topologie versehen, und sei S^{1} ⊂ ℂ der Teilraum, der durch S^{1} = {z ∈ ℂ | |z| = 1} definiert ist. Ferner sei f : ℝ → S^{1} die stetige Abbildung, die durch f(x) = e^{2πix} definiert ist.

(a) Zeige, dass die Abbildung

f̄: ℝ/∼ → S^{1}

mit f = f̄π, wobei π : ℝ → ℝ/∼ die kanonische Projektion ist, ein Homöomorphismus ist.

(b) Ist f abgeschlossen ?

∗Abgabe : Montag 10.11.2008 vor der Vorlesung.