http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 5^{∗}, 7.11.2008

Aufgabe 5.1. Sei k ≥ 1 und ℝ^{k} mit der euklidischen Norm ∥ ∥ versehen. Für n ≥ 0, sei

S^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1} | ∥x∥ = 1}

die n-Sphäre, mit der Teilraumtopologie versehen. Sei s = (0, …, 0, −1) ∈ S^{n} der “Südpol”. (a) Beweise, dass es eine stetige surjektive Abbildung f : ℝ^{n} → S^{n} \ {s} gibt.

(b) Beweise, dass S^{n} genau dann zusammenhängend ist, wenn n ≥ 1 gilt.

Aufgabe 5.2. Sei p : X → Y eine Quotientenabbildung von topologischen Räumen, mit Y zusammenhängend. Sei ferner angenommen, dass p^{−1}({y}) mit der Teilraumtopologie für alle y ∈ Y zusammenhängend ist. Zeige, dass X zusammenhängend ist.

Aufgabe 5.3. Sei ℝ mit der Euklidischen Metrik versehen, und sei ℝ^{ℕ} mit der entschprechenden uniformen Metrik ρ versehen (siehe Aufgabe 2.1). Ist ℝ^{ℕ} (mit der von ρ induzierten Topologie) zusammenhängend ?

Aufgabe 5.4. Sei {X_{i}}_{i∈I} eine Familie von topologischen Räumen, und sei Z = ∏_{i∈I} X_{i} mit der Produktopologie versehen.

(a) Wir nehmen an, dass Z nicht leer ist, und wählen a ∈ Z. Sei F ⊂ P(I) die Menge der endlichen Teilmengen von I. Für K ∈ F, sei

Z_{K} = {f ∈ Z | f(i) = a(i) für alle i ∈ I \ K} ⊂ Z.

Sei A der Abschluss von ⋃_{K∈F} Z_{K} in Z. Beweise, dass A gleich Z ist.

(b) Sei angenommen, dass X_{i} für alle i ∈ I zusammenhängend ist. Beweise, dass Z auch zusammenhängend ist.

Aufgabe 5.5. Seien ℝ und ℝ^{2} mit der Euklidischen Topologie versehen. Wir definieren topologische Räume A, B und C wie folgt :

(a) A ist die Vereinigung der Kreise mit Mittelpunkt (0, n) und Radius n in ℝ^{2} für alle n ≥ 1, versehen mit der Teilraumtopologie ;

(b) B ist die Vereinigung der Kreise mit Mittelpunkt (0, \frac{1}{n}) und Radius \frac{1}{n} in ℝ^{2} für alle n ≥ 1, versehen mit der Teilraumtopologie (die sog. Hawaiischen Ohrringe) ;

(c) C ist der Quotientenraum ℝ/∼, wobei x ∼ y genau dann, wenn x = y oder x, y ∈ ℤ. Welche dieser Räume sind homöomorph?

∗Abgabe : Montag 17.11.2008 vor der Vorlesung.