http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 6^{∗}, 14.11.2008

Aufgabe 6.1. Sei X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. Beweise, dass jeder Punkt von X ein fundamentales System von kompakten Umgebungen gestattet.

Aufgabe 6.2. Sei X ein topologischer Raum, und sei R ⊂ X × X eine Äquivalenzrelation auf X. Sei X × X mit der Produkttopologie versehen. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Ist der Quotientenraum X/R ein Hausdorff-Raum, so ist die Relation R als Teilmenge von X × X abgeschlossen.

(b) Ist die Relation R in X × X abgeschlossen und ist die Projektion π : X → X/R offen, so ist der Quotientenraum X/R ein Hausdorff-Raum.

(c) X ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn die Diagonale Δ = {(x, x) | x ∈ X} in X × X abgeschlossen ist.

Aufgabe 6.3. Sei n ≥ 1. Beweise, dass die projektiven Räume ℝP^{n} und ℂP^{n} kompakte Hausdorff-Räume sind.

Hinweis : Sei X = ℝ^{n+1} \ {0} und sei R die Relation mit ℝP^{n} = X/R. Für die Kompaktheit, finde eine kompakte Teilmenge K ⊂ X sodass die Einschränkung π|_{K} : K → X/R surjektiv ist. Für die Hausdorff-Eigenschaft, verwende 6.2.b. Vorschlag : Finde eine stetige Abbildung f : X × X → ℝ mit R = f^{−1}({0}). Der komplexe Fall ist analog.

Aufgabe 6.4. Konstruiere Homöomorphismen S^{1} → ℝP^{1} und S^{2} → ℂP^{1}, zum Beispiel durch Anwendung des Kompaktifizierungssatzes von Alexandroff.

Aufgabe 6.5. Seien p : A → X und q : B → Y Quotientenabbildungen von topologischen Räumen, und sei

f = p × q : A × B → X × Y

das Produkt von p und q. Seien A × B und X × Y mit der Produkttopologie versehen. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Gelten B = Y und q = id_{B}, und ist B ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so ist f eine Quotientenabbildung.

(b) Sind A und Y lokal-kompakte Hausdorff-Räume, so ist f eine Quotientenabbildung.

Hinweis zu (a) : Sei O ⊂ X × B nicht leer mit f^{−1}(O) offen, und sei (a, b) ∈ f^{−1}(O). Es genügt zu zeigen, dass S ⊂ A und V ⊂ B mit der folgenden Eigenschaften existieren : S ist offen und p-saturiert, V ist offen, und (a, b) ⊂ S ×V ⊂ f^{−1}(O). Wähle U_{1} ⊂ A offen und V ⊂ B offen mit \overline{V} kompakt, sodass (a, b) ∈ U_{1} × \overline{V} ⊂ f^{−1}(O) gilt. Sei S = ⋃_{n≥1} U_{n}, wobei die Folge \{U_{n}\}_{n≥1} von offenen Teilmengen von A induktiv gewählt ist, sodass

p^{−1}(p(U_{n})) ⊂ U_{n+1} und U_{n+1} × \overline{V} ⊂ f^{−1}(O)

für alle n ≥ 1 gilt. Wurde U_{n} gewählt, verwende Lemma 5.17 um zu zeigen, dass solch ein U_{n+1} existiert.

∗Abgabe : Montag 24.11.2008 vor der Vorlesung.