http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 7^{∗}, 21.11.2008

Aufgabe 7.1. Sei X eine Menge und seien T und T′ zwei kompakte Hausdorff-Topologien auf X. Beweise, dass falls T und T′ vergleichbar sind, dann sind sie gleich.

Aufgabe 7.2. Sei {X_{α}}_{α∈I} eine Familie von nicht-leeren topologischen Räumen. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) Das Produkt ∏_{α∈I} X_{α} ist lokal-kompakt.

(b) Für alle α ∈ I ist X_{α} lokal-kompakt, und nur für endlich-viele β ∈ I ist X_{β} nicht kompakt.

Aufgabe 7.3. Sei X ein Raum und Y ein kompakter Hausdorff-Raum, und sei f : X → Y ein Abbildung. Beweise, dass f genau dann stetig ist, wenn der Graph Γ(f) von f in X × Y abgeschlossen ist (siehe Aufgabe 4.2).

Aufgabe 7.4. Sei ℝ_{ℓ} die Menge ℝ mit der Topologie des niedrigen Limes versehen, also mit Basis B_{ℓ} = {[a, b) | a < b ∈ ℝ}. Sei D = {(x, −x) ∈ ℝ × ℝ | x ∈ ℝ}, und sei S = ℝ_{ℓ} × ℝ_{ℓ} mit der Produkttopologie versehen.

(a) Zeige, dass D in S abgeschlossen ist.

(b) Finde eine offene Überdeckung F von D in S, sodass für jede U ∈ F, der Schnitt U ∩ D genau einen Punkt besitzt.

(c) Beweise, dass S nicht Lindelöf ist.

Definition. Der Raum S aus Aufgabe 7.4 heißt die Sorgenfrey Ebene.

Aufgabe 7.5. Sei (X, T ) ein topologischer Raum, und sei

A(X) = {B ⊂ X | B ≠ ∅ und B abgeschlossen}.

Für U_{1}, …, U_{n} ⊂ X sei

O(U_{1}, …, U_{n}) = {A ∈ A(X) | A ⊂ ⋃_{i=1}^{n} U_{i} und A ∩ U_{i} ≠ ∅ für alle 1 ≤ i ≤ n} .

Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Menge B = {O(U_{1}, …, U_{n}) | n ∈ ℕ, U_{1}, …, U_{n} ∈ T } ist Basis einer Topologie E auf A(X).

(b) Die Menge S = {O(U) | U ∈ T }∪{O(X, U) | U ∈ T } ist eine Sub-Basis der Topologie E.

(c) Ist X Hausdorff und kompakt, so ist (A(X), E) kompakt. Was passiert, wenn man ∅ ∈ A(X) zulässt ?

Definition. Die Topologie E auf A(X) heißt die Vietoris-Topologie, oder die exponentielle Topologie.

∗Abgabe : Montag 1.12.2008 vor der Vorlesung.