http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 8^{∗}, 28.11.2008

Aufgabe 8.1. Sei X ein normaler Raum und p : X → Y eine surjektive, stetige und abgeschlossene Abbildung.

(a) Sei y ∈ Y und U ⊂ X offen mit p^{−1}({y}) ⊂ U. Zeige, dass eine offene Umgebung W ⊂ Y von y mit p^{−1}(W) ⊂ U existiert.

(b) Beweise, dass Y normal ist.

Aufgabe 8.2. Sei X ein zusammenhängender Raum mit mindestens zwei Elementen. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Ist X normal, so ist X unabzählbar.

(b) Ist X regulär, so ist X unabzählbar.

Definition. Sei X ein Raum. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt eine G_{δ}-Teilmenge, wenn sie der Schnitt einer abzählbaren Familie von offenen Teilmengen in X ist.

Aufgabe 8.3. Sei X ein normaler Raum, und seien A, B zwei Teilmengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) Eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit A = f^{−1}({0}) und B = f^{−1}({1}) existiert.

(b) A und B sind disjunkte, abgeschlossene G_{δ}-Teilmengen von X. Hinweis zu (b) ⇒ (a): Sei A = ⋂_{n∈ℕ_{+}} U_{n} mit U_{n} offen. Sei h_{n} : X → [0, 1] mit A ⊂ h_{n}^{−1}({0}) und X \ U_{n} ⊂ h_{n}^{−1}({1}). Zeige, dass h(x) = ∑_{n} 2^{−n}h_{n}(x) eine stetige Funktion h : X → [0, 1] mit h^{−1}({0}) = A definiert.

Aufgabe 8.4. Sei M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y ≥ 0}. Sei

B = {B_{ϵ}(x, y) ∩ M | (x, y) ∈ M, ϵ > 0} ∪ {B_{ϵ}(x, ϵ) ∪ {(x, 0)} | x ∈ ℝ, ϵ > 0} ,

wobei B_{ϵ}(x, y) die offene Kugel um (x, y) ∈ ℝ^{2} mit Radius ϵ bezüglich der Euklidischen Metrik auf ℝ^{2} bezeichnet. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) B ist Basis einer Hausdorff Topologie T auf M.

(b) Der Raum (M, T ) ist vollständig-regulär, erst-abzählbar und separabel.

(c) Der Teilraum X = {(x, y) ∈ M | y = 0} ist diskret, abgeschlossen und nicht separabel.

(d) Der Raum (M, T ) ist nicht Lindelöf.

(e) Der Raum (M, T ) ist nicht normal. Vorschlag zu (e): Zeige, dass die Menge C(X) der stetigen Funktionen von X nach ℝ strikt größere Kardinalität als C(M) hat.

Definition. Der Raum (M, T ) in 8.4 heißt die Moore-Ebene oder die Niemytzki-Ebene.

Aufgabe 8.5. Sei S die Sorgenfrey-Ebene (siehe Aufgabe 7.4). Beweise die folgenden Aussagen. (a) S ist nicht normal.

(b) Ein Produkt von normalen Räumen ist nicht notwendigerweise normal.

∗Abgabe : Montag 8.12.2008 vor der Vorlesung.