http://www.math.uni-bonn.de/people/ausoni/topologie1.html  Dr. Ch. Ausoni

Wintersemester 2008/2009

ÜBUNGEN ZUR TOPOLOGIE I

Blatt 9^{∗}, 5.12.2008

Aufgabe 9.1. Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum, und seien A und B zwei abgeschlossene Teilräume von X mit X = A ∪ B. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Der Raum X ist genau dann metrisierbar, wenn er zweit-abzählbar ist.

(b) Sind A und B metrisierbar, so ist X metrisierbar.

Aufgabe 9.2. Sei X ein vollständig-regulärer Raum, und sei β(X) die Stone-Čech-Kompakti-fizierung von X. Beweise, dass X genau dann zusammenhängend ist, wenn β(X) zusammenhängend ist.

Aufgabe 9.3. Seien X_{0}, X_{1} und X_{2} Räume und seien f_{1} : X_{0} → X_{1} und f_{2} : X_{0} → X_{2} stetige Abbildungen. Sei X_{1} ⊔ X_{2} die disjunkte Vereinigung (als Raum) von X_{1} und X_{2}, und sei ∼ die Äquivalenzrelation auf X_{1} ⊔ X_{2}, die von {(f_{1}(x), f_{2}(x)) | x ∈ X_{0}} erzeugt ist. Sei

Z = (X_{1} ⊔ X_{2})/∼

mit der Quotiententopologie versehen. Für i = 1, 2, sei g_{i} : X_{i} → Z die Verknüpfung der kanonischen Inklusion X_{i} → X_{1} ⊔ X_{2} mit der kanonischen Projektion X_{1} ⊔ X_{2} → Z. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) g_{1} und g_{2} sind stetig. Ist f_{1} injektiv, so ist g_{2} injektiv.

(b) Sei Y ein Raum, und für i = 1, 2 seien h_{i} : X_{i} → Y stetige Abbildungen mit h_{1}f_{1} = h_{2}f_{2}. Dann existiert genau eine stetige Abbildung h : Z → Y mit h_{i} = hg_{i} für i = 1, 2.

Definition. Das Tripel (Z, g_{1}, g_{2}) in Aufgabe 9.3 heißt der Push-Out von f_{1} und f_{2}. Der Raum Z wird oft X_{1} ⊔_{X_{0}} X_{2} notiert.

Aufgabe 9.4. Sei X ein Raum. Ein Teilraum A von X heißt ein Retrakt von X, wenn es eine stetige Abbildung r : X → A mit r(a) = a für alle a ∈ A gibt.

(a) Beweise: ist X ein Haudorff-Raum und ist A ⊂ X ein Retrakt von X, so ist A abgeschlossen.

(b) Sei X ein T_{1}-Raum, und seien x, y Punkte in X mit x ≠ y. Entscheide, unter welche Voraussetzungen der Teilraum A = {x, y} ein Retrakt von X ist.

(c) Sei n ∈ ℕ. Beweise, dass die Sphäre S^{n} (Aufgabe 5.1) ein Retrakt von ℝ^{n+1} \ {0} ist.

(d) Ist S^{n} ein Retrakt von ℝ^{n+1} ? Gib eine Vermutung an.

Aufgabe 9.5. Sei X ein metrischer Raum, und seien a, b ∈ X. Sei X^{[0,1]} mit der uniformen Metrik (Aufgabe 2.1) versehen. Sei

Ω(X; a, b) = { w ∈ X^{[0,1]} | w stetig, w(0) = a und w(1) = b }

mit der Teilraummetrik versehen. Seien α, β ∈ Ω(X; a, b). Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(a) Die Wege α und β sind homotop relativ zu den Endpunkten.

(b) Es existiert ein Weg von α nach β in Ω(X; a, b).

∗Abgabe : Montag 15.12.2008 vor der Vorlesung.