Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 10^{∗}, 03.06.2011

Aufgabe 10.1. Berechne die folgenden Homologiegruppen :

(a) H_{∗}(ℝP^{n} × ℝP^{m}; ℤ) für 1 ≤ n, m ≤ ∞.

(b) H_{∗}((S^{1})^{n}; ℤ) für 1 ≤ n < ∞.

Aufgabe 10.2. Sei X ein Moore Raum von Typ (ℤ/m, n) mit 3 Zellen, für m, n ≥ 2. Sei q : X → X/X^{(n)} ≅ S^{n+1} die Quotientabbildung, und i die Identität von X.

(a) Berechne H_{∗}(X × X; ℤ) und H_{∗}(S^{n+1} × X; ℤ).

(b) Benutze die Abbildung q × i um zu beweisen, dass die Künneth exakte Folge nur unnatürlich spaltet.

Aufgabe 10.3. Sei 𝔽 = ℝ, ℂ. Identifiziere 𝔽^{n+1} \ {0} mit {f ∈ ℂ[x] | f ≠ 0, deg(f) ≤ n}. (a) Beweise, dass die Multiplikation von Polynomen ein (stetiges) Produkt

μ_{i,j} : 𝔽P^{i} × 𝔽P^{j} → 𝔽P^{i+j}

induziert.

(b) Untersuche die Eigenschaften dieses Produkts (Assoziativität (für drei Faktoren), Kommutativität).

(c) Beweise, dass 𝔽P^{∞} ein kommutativer H-Raum ist. Ist 𝔽P^{∞} strikt kommutativ und assoziativ ?

Aufgabe 10.4. Für alle k ≥ 1, bezeichne mit u_{k} ∈ H_{2k}(ℂP^{k}; ℤ) ≅ ℤ einen gewählten Erzeuger. Seien i, j ≥ 1 gegeben.

(a) Sei [f] ∈ ℂP^{i+j} ein Polynom mit i + j verschiedene Wurzeln. Beweise, dass μ_{i,j}^{−1}([f]) aus ℓ = \binom{i+j}{i} Punkten \{v_{1}, …, v_{ℓ}\} besteht.

(b) Beweise, dass die folgende Formel gilt:

μ_{i,j}_{∗}(u_{i} × u_{j}) = ±\binom{i + j}{i}u_{i+j} .

(c) Bestimme die Pontrjagin-Algebrastruktur von H_{∗}(ℂP^{∞}; ℤ) Hinweis zu (b): Wir haben Isomorphismen

H_{2k}(ℂP^{k}; ℤ) ≅ H_{2k}(ℂP^{k}, ℂP^{k} \ {z}; ℤ) ≅ H_{2k}(V_{z}, V_{z} \ {z}; ℤ)

für alle z ∈ ℂP^{k}, wobei V_{z} eine Umgebung von z ist, die zu ℂ^{k} homöomorph ist. Beide Homomorphismen sind von einer Inklusion induziert, der zweite ist ein Isomorphismus dank Auschneidung. Evaluiere

μ_{i,j}_{∗} : H_{2(i+j)}(ℂP^{i} × ℂP^{j}, (ℂP^{i} × ℂP^{j}) \ μ_{i,j}^{−1}([f]); ℤ) → H_{2(i+j)}(ℂP^{i+j}, ℂP^{i+j} \ {[f]}; ℤ) .

∗Abgabe : Freitag, 17.06.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html