Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 11^{∗}, 17.06.2011

Aufgabe 11.1. Sei (X, x_{0}) ein punktierter Raum und sei ΩX der Schleifenraum von X, also

ΩX = Top_{∗}((S^{1}, 1), (X, x_{0}))

versehen mit der kompakt-offenen Topologie. Beweise, dass ΩX eine H-Gruppe ist.

Aufgabe 11.2. Seien 1 ≤ k ≤ n, (𝔽, G(n), R) = (ℝ, O(n), ℤ/2) oder (ℂ, U(n), ℤ) und sei V_{n,k}^{𝔽} die Stiefelmannigfaltigkeit (bestehend aus k-Rahmen in 𝔽^{n}).

(a) Beweise, dass die Wirkung G(n) × V_{n,k}^{𝔽} → V_{n,k}^{𝔽} die Struktur eines linken H_{∗}(G(n); R)- Modul auf H_{∗}(V_{n,k}^{𝔽}; R) induziert.

(b) Beschreibe diese Modulstruktur auf H_{∗}(V_{n,k}^{𝔽}; R) (durch Erzeuger und Relationen).

Aufgabe 11.3. Sei A eine abelsche Gruppe. Betrachte die Familie von Funktoren

{h_{n}^{A} = Hom_{ℤ}(H_{n}(−; ℤ), A) : Top^{2} → Ab}_{n∈ℕ} .

(a) Definiert h_{∗}^{ℤ} eine Kohomologietheorie?

(b) Finde eine notwendige und hinreichende Bedingung an A, sodass h_{∗}^{A} eine Kohomologietheorie ist.

Aufgabe 11.4. Sei X ein Raum und sei A eine abelsche Gruppe. Wir betrachten eine Kokette ϕ ∈ S^{1}(X; A) als eine Funktion auf der Menge der Wege in X mit Werten in A. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Sei ϕ ∈ S^{1}(X; A) ein Kozykel. Sind α und β Wege mit α(1) = β(0), so gilt ϕ(α · β) = ϕ(α) + ϕ(β). Es gelten ϕ(α) = 0 falls α konstant ist, und ϕ(α) = ϕ(β) falls α ∼ β. Ausserdem ist ϕ genau dann einen Korand, wenn ϕ(α) nur vom Paar (α(0), α(1)) abhängt, für alle α.

(b) Sei x_{0} ∈ X als Basispunkt gewählt. Die Regel [ϕ] ↦ ([α] ↦ ϕ(α)) definiert einen natürlichen Homomorphismus

h : H^{1}(X, A) → Gr(π_{1}(X, x_{0}), A),

wobei Gr die Kategorie der Gruppen bezeichnet.

(c) Ist (X, x_{0}) wegzusammenhängend, so ist h ein Isomorphismus.

(d) Die Gruppe H^{1}(X; ℤ) ist torsionsfrei.

∗Abgabe : Freitag, 24.06.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html