Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 12^{∗}, 24.06.2011

Aufgabe 12.1. Seien (X, A) ein Paar von Räumen und M eine abelsche Gruppe. Beweise, dass das Diagramm

\xymatrix{H^{n}(A; M) \ar[d]^{β} \ar[r]^{∂^{n}} & H^{n+1}(X, A; M) \ar[d]^{β} \\ Hom_{ℤ}(H_{n}(A; ℤ), M) \ar[r]^{∂_{n}^{∗}} & Hom_{ℤ}(H_{n+1}(X, A; ℤ), M)}

für alle n ≥ 0 kommutativ ist.

Aufgabe 12.2. Seien ℓ, m, n ∈ ℕ. Bestimme die folgenden Ext-Gruppen.

(a) Ext_{ℤ}^{∗}(ℤ/m; ℤ);

(b) Ext_{ℤ}^{∗}(ℤ/m; ℤ/n);

(c) Ext_{ℤ/ℓ}^{∗}(ℤ/m, ℤ/n) wenn definiert;

(d) Ext_{ℤ}^{∗}(ℚ, ℤ); hier betrachte die kurze exakte Folge von ℤ-Moduln

0 → ℤ → ℚ → ℚ/ℤ → 0

und die Zerlegung von ℚ/ℤ als Summe über die Primzahlen p der Prüfer-Gruppen ℤ/p^{∞}.

Aufgabe 12.3. Bestimme (direkt nach der Definition des Cup-Produkts) die folgenden Kohomologie-Algebren.

(a) H^{∗}(S^{1} × S^{1}; ℤ).

(b) H^{∗}(M(ℤ/m, 1); ℤ/m), wobei m ≥ 2 und M(ℤ/m, 1) ein Moore-Raum vom Typ (ℤ/m, 1) ist.

Aufgabe 12.4. Beweise, dass M = ∏_{ℕ} ℤ als ℤ-Modul nicht frei ist. Hinweis: Wähle eine Primzahl p, und betrachte

S = {(x_{i})_{i∈ℕ} ∈ M | p^{k} teilt x_{i} für fast alle i, ∀k ∈ ℕ} ⊂ M .

Zeige, dass S/pS ein Untervektorraum von ⨁_{ℕ} 𝔽_{p} ist. Zeige anderseits, dass falls M frei ist, so gilt S ≅ ⨁_{B} ℤ mit B nicht abzählbar.

∗Abgabe : Freitag, 1.07.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html