Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 13^{∗},01.07.2011

Aufgabe 13.1. Sei R ein kommutativer Ring. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Falls X die Vereinigung von n offenen zusammenziehbaren Teilräumen ist, so sind alle n-fache Cup-Produkte α_{1} ∪ ⋯ ∪ α_{n} in H̃^{∗}(X; R) null.

(b) Für jede Abbildung f : S^{m+n} → S^{m} × S^{n} gilt H_{m+n}(f; ℤ) = 0.

Hinweis zu (a): Induktion auf n mit Hilfe des reltiven Cup-Produktes.

Aufgabe 13.2. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Seien X und Y punktierte Räumen. Wir haben einen Isomorphismus von (nicht unitären) R-Algebren

H̃^{∗}(X; R) ⊕ H̃^{∗}(Y; R) ≅ H̃^{∗}(X ∨ Y; R),

wo wir links das komponentenweise Produkt nehmen.

(b) Für m, n ≥ 1 sind die Räumen S^{m}×S^{n} und S^{m}∨S^{n}∨S^{m+n} nicht Homotopie-äquivalent.

Aufgabe 13.3. Sei M_{g} eine orientierbare Fläche von Geschlecht g. Bestimme die Kohomologie-Algebra H^{∗}(M_{g}; ℤ).

Aufgabe 13.4. Eine Divisionsalgebrastruktur auf ℝ^{n} ist eine ℝ-bilineare Abbildung

μ : ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ^{n}

mit μ(a, −) und μ(−, a) : ℝ^{n} → ℝ^{n} surjektiv für alle a ∈ ℝ^{n} \ {0}.

(a) Mit Hilfe von Poincaré-Dualität, bestimme die Algebra H^{∗}(ℝP^{n}; 𝔽_{2}) für alle n ≥ 1.

(b) Beweise den folgenden Satz von H. Hopf: Falls ℝ^{n} die Struktur einer Divisionsalgebra besitzt, so ist n eine Potenz von 2.

Hinweis zu (b): Die Abbildung S^{n−1} × S^{n−1} → S^{n−1}, (x, y) ↦ μ(x, y)/|μ(x, y)| induziert eine Abbildung f : ℝP^{n−1} × ℝP^{n−1} → ℝP^{n−1}. Bestimme H^{∗}(f, 𝔽_{2}) und benutze dann: aus \binom{n}{k} ≡ 0 mod (2) für alle 1 ≤ k ≤ n − 1 folgt, dass n eine Potenz von 2 ist.

∗Abgabe : Freitag, 8.07.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html