Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 2^{∗}, 08.04.2011

Aufgabe 2.1. Bestimme eine CW-Zerlegung des Torus und der Kleinschen Flasche.

Aufgabe 2.2. Zeige, dass ein CW-Komplex X genau dann zusammenhängend ist, wenn X^{(1)} zusammenhängend ist.

Aufgabe 2.3. In dieser Aufgabe bearbeiten wir eine Umkehrung von Satz 1.15 aus der Vorlesung. Sei (X, K, Φ) ein CW-Komplex.

(a) Sei K_{n} = {e ∈ K | dim(e) = n}, versehen mit der diskreten Topologie. Die Familie von Abbildungen Φ definiert eine surjektive Abbildung

ϕ : ∐_{n∈ℕ}D^{n} × K_{n} → X .

Beweise, dass die Bedingung, X habe die schwache Topologie bezüglich {ē| e ∈ K}, äquivalent ist zur Bedingung, ϕ sei eine Quotienten-Abbildung.

(b) Sei n ≥ 1. Beweise, dass man X^{(n)} durch Anheften von n-Zellen an X^{(n−1)} erhalten kann.

Aufgabe 2.4. Sei (X, K, Φ) ein CW-Komplex und sei ϕ die Abbildung aus Aufgabe 2.3.(a). Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind :

(a) ϕ ist eine eigentliche Abbildung (sie ist abgeschlossen, und Urbilder von Punkten sind kompakt);

(b) X ist lokal kompakt (jeder Punkt in X besitzt eine kompakte Umgebung);

(c) Jeder Punkt in X besitzt eine Umgebung, die ein endlicher Unterkomplex von X ist.

∗Abgabe : Montag 19.04.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html