Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 3^{∗}, 15.04.2011

Aufgabe 3.1. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Seien W und V Räume, V kompakt. Ferner sei w ∈ W und sei O eine offene Umgebung

von {w}×V im Produkt W ×V. Dann existiert U ⊂ W offen mit w ∈ U und U ×V ⊂ O. Seien nun p : A → X und q : B → Y Quotientenabbildungen von topologischen Räumen, und sei

f = p × q : A × B → X × Y

das Produkt von p und q.

(b) Gelten B = Y und q = id_{B}, und ist B ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so ist f eine Quotientenabbildung.

(c) Sind A und Y lokal-kompakte Hausdorff-Räume, so ist f eine Quotientenabbildung.

Hinweis zu (b) : Sei O ⊂ X × B nicht leer mit f^{−1}(O) offen, und sei (a, b) ∈ f^{−1}(O). Es genügt zu zeigen, dass S ⊂ A und V ⊂ B mit der folgenden Eigenschaften existieren : S ist offen und p-saturiert (also S = p^{−1}(p(S))), V ist offen, und (a, b) ∈ S × V ⊂ f^{−1}(O). Wähle hierzu U_{1} ⊂ A offen und V ⊂ B offen mit \overline{V} kompakt, sodass (a, b) ∈ U_{1} × \overline{V} ⊂ f^{−1}(O) gilt. Sei S = ⋃_{n≥1} U_{n}, wobei die Folge {U_{n}}_{n≥1} von offenen Teilmengen von A induktiv so gewählt ist, dass

p^{−1}(p(U_{n})) ⊂ U_{n+1} und U_{n+1} × \overline{V} ⊂ f^{−1}(O)

für alle n ≥ 1 gilt. Wurde U_{n} gewählt, verwende (a) um zu zeigen, dass solch ein U_{n+1} existiert.

Aufgabe 3.2. Sei (X, K, Φ) ein CW-Komplex. Beweise, dass eine Abbildung H : [0, 1]×X → Y genau dann stetig ist, wenn die Einschränkung H|_{[0,1]×ē} für alle e ∈ K stetig ist.

Aufgabe 3.3. Beweise, dass S^{∞} zusammenziehbar ist.

Aufgabe 3.4. Berechne die Fundamentalgruppe von ℝP^{∞}, und beschreibe seine universelle Überlagerung.

∗Abgabe : Dienstag, 26.04.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html