Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 4^{∗}, 19.04.2011

Definition. Einen 1-dimensionalen CW-Komplex X nennt man einen Graph. Die 0-Zellen in X heißen Ecken, die 1-Zellen heißen Kanten. Ein Untergraph von X ist ein Unterkomplex. Ein Baum ist ein zusammenziehbarer Graph.

Aufgabe 4.1. Sei X ein zusammenhängender Graph. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Ein Unterbaum T ⊂ X ist genau dann maximal (in der Menge der Unterbäume von X, bezüglich der Inklusion), wenn T^{(0)} = X^{(0)}.

(b) Der Graph X besitzt einen maximalen Unterbaum.

Aufgabe 4.2. Sei X ein zusammenhängender Graph und sei T ⊂ X ein maximaler Unterbaum. Sei C die Menge der Kanten in X, die nicht in T liegen, und sei x_{0} eine Ecke von X. Dann ist π_{1}(X, x_{0}) isomorph zur freien Gruppe auf C.

Aufgabe 4.3. Beweise die folgende Aussage :

Theorem. Jede Untergruppe einer freien Gruppe ist frei.

Aufgabe 4.4. Sei F_{2} eine freie Gruppe auf zwei Erzeugern. Beweise, dass F_{2} eine Untergruppe besitzt, die nicht endlich erzeugt ist. Hinweis : Benutze eine geeignete Überlagerung von S^{1} ∨ S^{1}.

∗Abgabe : Freitag, 29.04.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html