Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 5^{∗}, 29.04.2011

Aufgabe 5.1. Sei X ⊂ ℝ^{3} die Vereinigung von S^{2} mit {(t, 0, 0) ∈ ℝ^{3} | − 1 ≤ t ≤ 1}. (a) Finde eine CW-Zerlegung von X und berechne die Zelluläre Homologie von X.

(b) Beweise, dass X ≃ S^{1}∨S^{2}. Ist die obige Berechnung von H_{∗}^{CW} (X; ℤ) damit verträglich ?

Aufgabe 5.2. Sei ℍP^{n} der quaternionische projektive Raum, definiert als Quotient von

ℍ^{n+1} \ {0}

durch die Relation x ∼ y falls λ ∈ ℍ existiert, mit λx = y. Beweise, dass ℍP^{n} Hausdorff ist. Finde eine CW-Zerlegung von ℍP^{n} und berechne H_{∗}(ℍP^{n}; ℤ).

Aufgabe 5.3. Seien X, Y CW-Komplexe. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Eine zelluläre Abbildung f : X → Y induziert ein Homomorphismus

f_{∗} : H_{∗}^{CW} (X; ℤ) → H_{∗}^{CW} (Y; ℤ)

zwischen den zellulären Homologiegruppen.

(b) Der in der Vorlesung definierte Isomorphismus

θ : H_{∗}^{CW} (−; ℤ) → H_{∗}(−; ℤ)

ist natürlich bezüglich zellulärer Abbildungen.

Aufgabe 5.4. Berechne H_{∗}(𝔽P^{m}/𝔽P^{n}; ℤ) für m ≥ n und 𝔽 = ℝ, ℂ und ℍ.

∗Abgabe : Freitag, 06.05.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html