Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 6^{∗}, 06.05.2011

Aufgabe 6.1. Sei W die Menge der Homöomorphismenklassen von endlichen CW -Komplexen, und sei χ̃ : W → ℤ die reduzierte Euler-Poincaré Charakteristik, die durch χ̃(X) = χ(X) − 1 definiert ist.

(a) Beweise, dass für alle CW -Paare (X, A), X endlich, die Gleichung

χ̃(X) = χ̃(A) + χ̃(X/A)

gilt.

(b) Sei M eine Abelsche Gruppe, und sei ϕ : W → M eine Abbildung mit

ϕ(X) = ϕ(A) + ϕ(X/A)

für alle endliche CW -Paare (X, A). Beweise, dass ϕ(X) = ϕ(S^{0})χ̃(X) für alle X ∈ W gilt:

\xymatrix{W \ar[r]^{ϕ} \ar[d]_{χ̃} & M \\ ℤ \ar[ur]_{·ϕ(S^{0})}}

Aufgabe 6.2. Sei g ∈ ℕ und sei M_{g} eine orientierbare abgeschlossene Fläche vom Geschlecht g, definiert als ♯_{g}𝕋^{2} oder als Quotient einer polygonale Fläche in ℝ^{2} (siehe 4.45, Topologie 1). Bestimme eine CW -Zerlegung von M_{g} und berechne H_{∗}^{CW} (M_{g}; ℤ) und χ(M_{g}).

Aufgabe 6.3. Sei g ∈ ℕ und sei P_{g} eine nicht-orientierbare abgeschlossene Fläche vom Geschlecht g, definiert als ♯_{g}ℝP^{2} oder als Quotient einer polygonale Fläche in ℝ^{2} (siehe 4.45, Topologie 1). Bestimme eine CW -Zerlegung von P_{g} und berechne H_{∗}^{CW} (P_{g}; ℤ) und χ(M_{g}).

Aufgabe 6.4. Beweise, dass SU(2) und S^{3} homöomorph sind. Beschreibe die CW -Zerlegung von S^{3}, bzw. ℝP^{3}, die die CW -Zerlegung von V_{2,1}^{ℂ}, bzw. V_{3,2}^{ℝ} in normalen Zellen entschpricht.

∗Abgabe : Freitag, 13.05.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html