Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 7^{∗}, 17.05.2011

Ziel dieses Blattes ist es, die Existenz von Projektiven Räumen über die Cayley Oktaven 𝕆 zu untersuchen.

Aufgabe 7.1. Gibt es eine gute Definition einer oktavischen “Gerade” in 𝕆^{n} ? Zum Beispiel, gibt es zu jedem Punkt y ∈ 𝕆^{n} \ 0 genau eine “Gerade” durch 0 und y?

Aufgabe 7.2. Betrachte die Relation

(x, y) ∼ (a, b) ⇔ \begin{cases}yx^{−1} = ba^{−1}, falls x, a ≠ 0, \\ xy^{−1} = ab^{−1}, falls y, b ≠ 0 \end{cases}

auf 𝕆^{2} \ 0. Zeige, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist (hier benutzt man, dass 𝕆 eine alternative Algebra ist). Konstruiere damit die projektive Linie 𝕆P^{1}, und beschreibe die entsprechende Quotienten-Abbildung S^{15} → 𝕆P^{1}.

Aufgabe 7.3. Beweise, dass eine projektive Ebene 𝕆P^{2} existiert. Hierzu betrachte man Punkte in 𝕆^{3} \{0}, die mindestens eine reele Koordinate besitzen. Entsteht eine Quotienten-Abbildung S^{23} → 𝕆P^{2} ?

Aufgabe 7.4. Finde CW -Zerlegungen von 𝕆P^{1} und 𝕆P^{2} und berechne ihre zellulärer Homologie.

∗Abgabe : Montag, 23.05.2011 bis 12Uhr.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html