Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 8^{∗}, 20.05.2011

Aufgabe 8.1. Sei A ein ℤ-Modul und {M_{i}}_{i∈I} eine Familie von ℤ-Moduln. Beweise, dass ein natürlicher Isomorphismus

⨁_{i∈I}(A ⊗ M_{i}) → A ⊗ ( ⨁_{i∈I} M_{i})

existiert. Aufgabe 8.2. Beweise, dass ein ℤ-Modul genau dann flach ist, wenn er torsionsfrei ist. Hier benutzt man, dass ein endlich erzeugter torsionsfreier ℤ-Modul frei ist. Aufgabe 8.3. Seien m, n ∈ ℤ, und sei L ein ℤ-Modul.

(a) Beschreibe ℤ/m ⊗ ℤ/n und Tor_{1}^{ℤ}(ℤ/m, ℤ/n).

(b) Beweise, dass Tor_{1}^{ℤ}(L, ℚ/ℤ) isomorph zur Torsionsuntergruppe von L ist. Aufgabe 8.4. Berechne H_{∗}(SO(4); ℤ) und H_{∗}(SO(4); 𝔽_{2}) (mit Hilfe der zellulären Homologie). Überprüfe, ob die Ergebnisse verträglich mit der Formel der Universellen Koeffizienten sind.

∗Abgabe : Freitag, 27.05.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html