Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Sommersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE

Blatt 9^{∗}, 27.05.2011

Aufgabe 9.1. Sei R ein kommutativer Ring. Seien M, N und P drei R-Moduln, und sei f : M ⊕ N → P eine R-bilineare Abbildung. Ferner sei i : M ⊕ N → M ⊗_{R} N die kanonische R-bilineare Abbildung, und g : M ⊗_{R} N → P die R-lineare Abbildung mit f = gi. Setze M^{∗} := Hom_{R}(M, R).

(a) Welche Beziehung haben Bild(f) und Bild(g)?

(b) Konstruiere einen Homomorphismus ϕ : M^{∗} ⊗_{R} N → Hom_{R}(M, N), so dass ϕ ein Isomorphismus ist, falls M frei und endlich erzeugt ist.

(c) Sei M = N = R^{2}, mit der kanonischen Basis versehen. Bestimme ϕ^{−1}(Id_{M}).

Aufgabe 9.2. Sei X ein endlicher CW -Komplex. Beweise die folgenden Aussagen. (a) Sei K ein Körper. Dann gilt

χ(X) = ∑_{n≥0}(−1)^{n}dim_{K}H_{n}(X; K),

wobei χ(X) die Euler-Poincaré Charakteristic von X ist.

(b) Gilt H̃_{∗}(X; ℚ) = 0 und H̃_{∗}(X; 𝔽_{p}) = 0 für alle Primzahlen p, so folgt H̃_{∗}(X; M) = 0 für jede abelsche Gruppe M.

Aufgabe 9.3. Finde eine Abbildung f : X → Y und eine abelsche Gruppe M, die verdeutlichen, dass die exakte Folge der universellen Koeffizienten (für H_{n}(−; M), n ≥ 2) nur unnatürlich spaltet. Hinweis: Für X kann man zum Beispiel einen Moore-Raum von Typ (ℤ/p, n) mit drei Zellen nehmen.

Aufgabe 9.4. Sei p eine Primzahl und β : H_{∗}(−; 𝔽_{p}) → H_{∗−1}(−; 𝔽_{p}) der Bockstein Homomorphismus.

(a) Beweise, dass β ∘ β = 0.

(b) Untersuche inwiefern β mit dem Randoperator ∂_{m} : H_{m}(X, A; 𝔽_{p}) → H_{m−1}(A; 𝔽_{p}) eines Paares (X, A) verträglich ist.

(c) Bestimme β für H_{∗}(ℝP^{n}; 𝔽_{2}), 1 ≤ n ≤ ∞, und berechne H_{∗}(H_{∗}(ℝP^{n}; 𝔽_{2}), β).

∗Abgabe : Freitag, 03.06.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie2-SS11.html