Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 11^{∗}, 11.01.2012

Aufgabe 11.1. Sei F : (ℤ, ≤) → Ab ein System von abelschen Gruppen. Sei m ∈ ℤ und sei G das Quotientensystem von F, das durch

G_{n} = \begin{cases}F_{n} & falls n ≤ m , \\ 0 & sonst \end{cases}

gegeben ist. Dann induziert F → G Isomorphismen lim F ≅ lim G und lim^{1} F ≅ lim^{1} G.

Aufgabe 11.2. Betrachte die abelschen Gruppen F = ℤ_{(2)} und G = ℤ_{2}^{∧}. Wir filtrieren F und G durch

F_{s} = \begin{cases}2^{−s}F & falls s ≤ 0 , \\ F & falls s ≥ 0 , \end{cases} und G_{s} = \begin{cases}2^{−s}G & falls s ≤ 0 , \\ G & falls s ≥ 0 . \end{cases}

Bemerke, dass die Inklusion F → G kein Isomorphismus ist, obwohl sie Isomorphismen auf alle Filtrierungsquotienten induziert. Untersuche die Eigenschaften (erschöpfend, Hausdorff, vollständig) von diesen Filtrierungen.

Aufgabe 11.3. Sei R ein Ring, A ein rechter R-Modul und B ein linker R-Modul. Seien P_{∗} ⟶^{ϵ} A und Q_{∗} ⟶^{η} B projektive Auflösungen von A und B. Wir hatten die Tor-Gruppen von A und B als die links-derivierte Funktoren L_{n}(− ⊗_{R} B)(A) definiert, also

Tor_{n}^{R}(A, B) = H_{n}(P_{∗} ⊗_{R} B, d ⊗ id) .

Konstruiere einen Isomorphismus

Tor_{n}^{R}(A, B) ≅ H_{n}(A ⊗_{R} Q_{∗}, id ⊗ d) .

Hinweis: Bastele einen Doppelkomplex M mit M_{p,q} = P_{p} ⊗_{R} Q_{q}, und berechne die zwei assoziierten Spektralsequenzen, die gegen H_{∗}(Tot(M)) konvergieren. Bemerkung: Eine entsprechende Aussage (mit analogem Beweis) gilt auch für die Ext-Gruppen Ext_{R}^{n}(A, B), die man mit einer projektiven Auflösung von A oder einer injektiven Auflösung von B berechnen kann.

Aufgabe 11.4. Sei p : E → X eine Überlagerung. Betrachte das offensichtliche lokale Koeffizienten-System F auf X mit F_{x} = H_{0}(p^{−1}(x); ℤ). Beweise, dass der singuläre Ketten-Komplex S_{∗}(X; F) mit lokalen Koeffizienten isomorph zu S_{∗}(E; ℤ) ist.

∗Abgabe : Montag 23.01.2012.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html