Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 12^{∗}, 20.01.2012

Aufgabe 12.1. Bestimme die Serre-Spektralsequenz der Faserung

S^{0} → S^{n} → ℝP^{n}

für Homologie mit Koeffizienten in ℤ oder 𝔽_{2}.

Aufgabe 12.2. Beweise die Existenz einer Faserung

F → E ⟶^{p} B ,

wobei E ein K(ℤ/4, 1)-Raum ist, B und F K(ℤ/2, 1)-Räume sind und π_{1}(p) : ℤ/4 → ℤ/2 surjektiv ist.

(a) Beweise, dass das induzierte lokale System H_{∗}(F; ℤ) auf B einfach ist.

(b) Beschreibe den E^{2}-Term der assozierten Serre-Spektralsequenz in Homologie mit ℤ-Koeffizienten.

(c) Die Homologie von dem K(ℤ/4, 1)-Raum E ist durch

H_{n}(E; ℤ) ≅ \begin{cases}ℤ & n = 0, \\ ℤ/4 & n ≥ 1 ungerade, \\ 0 & sonst \end{cases}

gegeben. Ist es möglich, mit diesem Kenntnis die Spektralsequenz zu berechnen?

Aufgabe 12.3. Sei F → E → B eine Serre-Faserung, und sei 𝔽 ein Körper. Wir nehmen an, dass das lokale System H_{∗}(F; 𝔽) auf B einfach ist. Beweise, dass wenn H_{∗}(B; 𝔽) und H_{∗}(F; 𝔽) endlich-dimensionale 𝔽-Vektorräume sind, dann ist H_{∗}(E; 𝔽) auch endlich-dimensional, und ferner gilt

χ_{𝔽}(E) = χ_{𝔽}(B)χ_{𝔽}(F) .

Hier ist χ_{𝔽}(X) als ∑_{i≥0}(−1)^{i} dim_{𝔽} H_{i}(X; 𝔽) definiert.

Aufgabe 12.4. Sei E_{∗} eine reduzierte Homologietheorie und sei X ein punktierter CW - Komplex. Für jedes n ≥ 0 haben wir eine Kofaserfolge X^{(n−1)} → X^{(n)} → X^{(n)}/X^{(n−1)}, die einen exakten Dreieck in E_{∗}-Homologie induziert. Setzt man diese Dreiecke nacheinander, so erhält man ein “unrolled exact couple”. Beschreibe den E^{2}-Term der assoziierten Spektralsequenz. Was liefert diese Spektralsequenz, wenn E_{∗} = H_{∗}(−; ℤ) ?

∗Abgabe : Montag 30.01.2012.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html