Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 13^{∗}, 27.01.2012

Aufgabe 13.1. Bestimme die Algebra H^{∗}(U(n); ℤ) durch Induktion über n mit Hilfe der Serre-Spektralsequenz der Faserung

U(n − 1) → U(n) → S^{2n−1} .

Bestimme ferner die Algebra H^{∗}(SO(n); 𝔽_{2}) mit Hilfe der Faserung

SO(n − 1) → SO(n) → S^{n−1} .

Aufgabe 13.2. Sei p : E → B eine Serre-Faserung mit B wegzusammenhängend und sei R ein Ring, so dass das System H^{∗}(F; R) auf B trivial ist. Wir nehmen ferner an, dass für die Fasern H^{∗}(F_{b}; R) ≅ H^{∗}(S^{n}; R) mit n ≥ 1 gilt. Konstruiere eine lange exakte Folge

⋯ ⟶^{p^{∗}} H^{m}(E; R) → H^{m−n}(B; R) ⟶^{ϕ} H^{m+1}(B; R) ⟶^{p^{∗}} H^{m+1}(E; R) → · · · .

Sei d_{n} das Differential von E_{n}, wobei (E_{r}, d_{r})_{r} die Serre-Spektralsequenz der Faserung für H^{∗}(−; R) ist. Sei i_{n} ein Erzeuger von H^{n}(S^{n}; R) als R-Modul, und setze

e = d_{n}(i_{n}) ∈ H^{n+1}(B; R) .

Zeige, dass man ϕ als das Cup-Produkt mit e definieren kann. Bemerkung : Die Klasse e heißt die Euler-Klasse und die Folge die Gysin-Folge der Faserung.

Aufgabe 13.3. Sei k ≥ 2. Begründe (zum Beispiel mit dem Hinweis auf der Rückseite) die Existenz einer Faserung

S^{2k−1} → E → G_{∞,k}^{ℂ}

mit E und G_{∞,k−1}^{ℂ} schwach homotopieäquivalent. Bestimme die Algebra H^{∗}(G_{∞,k}^{ℂ}; ℤ) mit Hilfe dieser Faserung.

Aufgabe 13.4. Bestimme die Algebra H^{∗}(K(ℤ, n); ℚ) mit Hilfe der Faserung

K(ℤ, n − 1) → P K(ℤ, n) → K(ℤ, n) .

Aufgabe 13.5. Wettbewerb^{†}: Berechne

⨁_{i=0}^{n} H^{i}(K(ℤ, 3); ℤ)

inklusive multiplikative Struktur für möglichst großes n.

∗Abgabe : Montag 06.02.2012.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html

†Der erste Preis besteht aus 500g schweizer Schokolade.

Hinweis zur Aufgabe 13.3. Sei γ_{n,k} ⟶ G_{n,k} = G_{n,k}^{𝔽} das tautologische Bündel. Dies ist bekanntermaßen ein Unterbündel von 𝔽^{n} ×G_{n,k} ⟶^{pr_{2}} G_{n,k} und wir notieren das (orthogonal-) komplementäre Bündel als ν_{n,k}. Desweiteren schreiben wir SV für das Sphärenbündel eines metrischen Vektorbündels. Im Klartext also etwa Sν_{n,k} = {(V, x) ∈ S^{dn−1} × G_{n,k} | x ⊥ V }, wo d = dim_{ℝ} 𝔽. Dann ist die folgende Abbildung:

Sν_{n,k} ⟶ G_{n,k+1}, (V, x) ⟼ V + ⟨x⟩

ein Faserbündel mit Faser Sν_{k+1,k}. Die Faser ist durch Bilden orthogonaler Komplemente homöomorph zum Totalraum von Sγ_{k+1,1} ⟶ 𝔽P^{k} und dieser wiederum ist durch Projektion auf die zweite Koordinate homöomorph zu S^{dk−1}. Beweisen sie zunächst, dass die Bündelprojektion Sν_{∞,k} ⟶ G_{∞,k} einen Isomorphismus in Homologie induziert (sie ist sogar eine Homotopieq̈uivalenz). Wir erhalten also einen Faserbündel S^{2k−2} → E → G_{∞,k}^{ℂ} mit E ≃ G_{∞,k−1}^{ℂ}.