Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 2^{∗}, 14.10.2011

Aufgabe 2.1. Sei (X, A, B, ∗) ein punktiertes Trippel, also ∗ ∈ B ⊂ A ⊂ X. Beweise, dass die Folge

⋯ → π_{n+1}(X, A, ∗) ⟶^{d_{n+1}} π_{n}(A, B, ∗) ⟶^{i_{∗}} π_{n}(X, B, ∗) ⟶^{j_{∗}} π_{n}(X, A, ∗) → ⋯ → π_{1}(X, A, ∗)

exakt ist. Hier sind i_{∗} und j_{∗} von den Inklusionen induziert, und d_{n+1} ist die Verknüpfung

π_{n+1}(X, A, ∗) ⟶^{∂_{n+1}} π_{n}(A, ∗) → π_{n}(A, B, ∗).

Hinweis : Verknüpfe die entsprechenden exakten Folgen von Paaren, und jage im entstehenden Diagramm. Der gleiche Beweise liefert auch die lange exakte Homologiesequenz eines Trippels.

Aufgabe 2.2. Sei (X, ∗) ein punktierter Raum. Wir haben die (reduzierte) Einhängung von (X, ∗) als ΣX = (X×I)/[(X×∂I)∪({∗}×I)] definiert, mit der Klasse von (∗, 0) als Basispunkt. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Wir haben ein adjungiertes Paar von Funktoren (Σ, Ω) : HoTop_{∗} → HoTop_{∗}.

(b) Aus (a) gewinnen wir auf [ΣX, −]_{∗} eine natürliche Gruppenstruktur. Benutze dies um zu beweisen, dass ΣX eine Co-H-Gruppe (also eine Cogruppe in HoTop_{∗}) ist.

(c) Sei X eine Co-H-Gruppe und Y eine H-Gruppe. Zeige, dass die zwei entstehenden Gruppenstrukturen auf [X, Y]_{∗} übereinstimmen und abelsch sind. Gebe hiermit einen zweiten Beweis, dass π_{n}(Z, ∗) für n ≥ 2 und Z beliebich abelsch ist.

Aufgabe 2.3. Sei f : (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) eine Abbildungen von punktierten Räumen. Betrachte den Abbildungszylinder

Zyl(f) := [Y ⊔ (X × I)]/ ∼,

wobei ∼ durch f(x) ∼ (x, 1) für x ∈ X und y_{0} ∼ (x_{0}, t) für t ∈ I erzeugt ist. Beweise, dass man f, bis auf Verknüpfung mit einer Homotopieäquivalenz, durch eine Einbettung ersetzen kann, nämlich i : X → Zyl(f), x ↦ [(x, 0)]. Folgere daraus, dass f_{∗} : π_{∗}(X, ∗) → π_{∗}(Y, ∗) in einer langen Homotopiefolge auftaucht.

Aufgabe 2.4. Sei f : X → Y eine Abbildungen von punktierten Räumen und n ≥ 1. Definiere π_{n}(f) als die Menge der Homotopieklassen von Paaren von Abbildungen (α, β) mit

\xymatrix{∂I^{n} \ar[r]^{β} \ar@{^{(}->}[d] & X \ar[d]^{f} \\ I^{n} \ar[r]^{α} & Y}

und β(J^{n−1}) = {∗}. Hier sind die Homotopien auch durch Paare (H, h) gegeben, mit (H_{t}, h_{t}) wie eben (α, β). Definiere eine geeignete Gruppenstruktur auf π_{n}(f) für n ≥ 2 und beweise, dass π_{n}(f) und π_{n}(Zyl(f), X, ∗) isomorph sind.

∗Abgabe : Montag 24.10.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html