Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 3^{∗}, 21.10.2011

Aufgabe 3.1. Seien (X, x) und (Y, y) wegzusammenhängende punktierte Räume, und sei f : (X, x) → (Y, y) eine Abbildung. Sei n ≥ 0 gegeben. Beweise, dass f genau dann eine n-Äquivalenz ist, wenn das Paar (Zyl(f), X) n-zusammenhängend ist.

Aufgabe 3.2. Sei (X, A, ∗) ein punktiertes Paar. Beweise, dass π_{1}(A, ∗) auf der langen exakten Homotopiesequenz des Paares (X, A, ∗) operiert (durch Morphismen von langen exakten Folgen). Insbesondere ist diese Folge (von π_{2}(X, ∗) aufwärts) eine Sequenz von ℤ[π_{1}(A, ∗)]-Moduln.

Aufgabe 3.3. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Jeder wegzusammenhängende H-Raum ist einfach.

(b) Jede H-Gruppe ist einfach. Zur Erinnerung: In unserer Definition von H-Räumen wird Assoziativität nicht verlangt.

Aufgabe 3.4. Sei (X, ∗) ein wegzusammenhängender H-Raum, so dass das Paar (X×X, X∨X) die Homotopie-Erweiterungseigenschaft besitzt (erkläre: das gilt zum Beispiel, wenn X ein lokal-kompakter CW -Komplex ist). Beweise, dass das Produkt X × X → X homotop zu einem Produkt ist, für welches ∗ eine strikte Einheit ist.

Aufgabe 3.5. Sei (X, ∗) ein punktierter Raum. Sei ℝ_{+} = {t ∈ ℝ | t ≥ 0}. Wir definieren den Moore-Schleifenraum

Ω^{M}(X, ∗) = {(t, w) ∈ ℝ_{+} × X^{ℝ_{+}} | w(0) = ∗ und w(s) = ∗ falls s ≥ t},

versehen mit der Teilraum Topologie von ℝ_{+} × X^{ℝ_{+}}, wobei X^{ℝ_{+}} die KO-Topologie trägt. Wir definieren ein Produkt μ : Ω^{M}(X, ∗) × Ω^{M}(X, ∗) → Ω^{M}(X, ∗) durch μ((s, v), (t, w)) = (s + t, u), wobei u die offensichtliche Zusammensetzung von v und w ist. Als Basispunkt von Ω^{M}(X, ∗) nehmen wir ∗ = (0, c_{∗}). Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Ω^{M}(X, ∗) ist ein topologisches Monoid.

(b) Die (unpunktierte) Inklusion Ω(X, ∗) ⊂ Ω^{M}(X, ∗) ist ein Deformationsretrakt. Die Retraktion kann man punktiert wählen, und die Produkte sind kompatibel bis auf Homotopie.

∗Abgabe : Montag 31.10.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html