Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 4^{∗}, 28.10.2011

Aufgabe 4.1. Sei p : E → X eine universelle Überlagerung, e ∈ E und x = p(e). Die Gruppe π = π_{1}(X, x) wirkt auf E rechts durch Morphismen von Überlagerungen. Zeige, dass man mit Hilfe diese Wirkung eine interessante Wirkung von π auf π_{n}(E, e) definieren kann, für n ≥ 1. Ist diese Wirkung verträglich unter p_{∗} mit der Wirkung von π auf π_{n}(X, x), die wir bereits definiert haben ?

Aufgabe 4.2. Sei gegeben ein Push-out-Diagramm

\xymatrix{A \ar[r]^{i} \ar[d]^{f} & X \ar[d]^{F} \\ B \ar[r]^{j} & Y.}

Beweise, dass falls i eine Kofaserung ist, dann ist j auch eine Kofaserung.

Aufgabe 4.3. Seien (X, ∗) und (Y, ∗) punktierte Räume. Beweise, dass die Abbildung

\begin{matrix}π_{m}(X, ∗) × π_{n}(Y, ∗) & → π_{m+n}(X ∧ Y, ∗) \\ ([f : S^{m} → X], [g : S^{n} → Y]) & ↦ [f ∧ g : S^{m+n} → X ∧ Y] \end{matrix}

wohldefiniert und für m, n ≥ 2 ℤ-bilinear ist.

Aufgabe 4.4. Sei X ein CW -Komplex und seien A und B Unterkomplexe mit X = A ∪ B und A ∩ B ≠ ∅. Beweise, dass der Homotopieausschneidungssatz in diesem Fall auch gilt (mit den gleichen Zusammenhangsbedingungen wie im Satz 1.43).

∗Abgabe : Montag 7.11.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html