Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 5^{∗}, 4.11.2011

Aufgabe 5.1. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Verknüpfung von zwei Faserungen ist eine Faserung.

(b) Das Produkt von zwei Faserungen ist eine Faserung.

(c) Ist p : E → B eine Faserung mit B wegzusammenhängend und E ≠ ∅, so ist p surjektiv.

(d) Sei gegeben ein Pull-Back

\xymatrix{X \ar[r]^{f} \ar[d]_{q} & E \ar[d]^{p} \\ Y \ar[r]^{g} & B}

wobei p eine Faserung ist. Beweise, dass q dann auch eine Faserung ist. Im punktierten Fall, beweise dass die Einschränkung von f einen Homöomorphismus Z → F induziert, wobei Z und F die Fasern von q, bzw. p sind.

Aufgabe 5.2. Sei E ⊂ ℝ^{2} das Dreieck mit Ecken (0, 0), (1, 0) und (0, 1). Sei B = [0, 1], und sei p : E → B die Einschränkung der Projektion ℝ^{2} → ℝ, (x, y) ↦ x. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Die Abbildung p ist eine Faserung.

(b) Die Abbildung p ist kein Faserbündel.

Aufgabe 5.3. Sei n ≥ 1. Berechne π_{m}(ℝP^{n}, ∗) und π_{ℓ}(ℂP^{n}, ∗) für so viele Werte von m und ℓ wie möglich.

Aufgabe 5.4. Sei X_{0} = {∗} ⊂ X_{1} ⊂ X_{2} ⊂ X_{3} ⊂ ⋯ eine Folge von Inklusionen von Hausdorffräumen, und sei X = ⋃_{n≥0} X_{n} mit der schwache (i.e. der Colimites-) Topologie versehen.

(a) Beweise, dass die Homomorphismen π_{∗}(X_{n}, ∗) → π_{∗}(X, ∗), die von der Inklusion induziert sind, einen Isomorphismus

Colim_{n} π_{∗}(X_{n}, ∗) → π_{∗}(X, ∗)

induzieren.

(b) Berechne π_{∗}(ℝP^{∞}, ∗) und π_{∗}(ℂP^{∞}, ∗).

∗Abgabe : Montag 14.11.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html