Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 6^{∗}, 11.11.2011

Aufgabe 6.1. Betrachte

E = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 ≤ x ≤ 1, y = x − 1 oder y = 1/n, n ∈ ℕ \ {0}} ⊂ ℝ^{2},

und sei p : E → B = [0, 1] durch p(x, y) = x definiert. Beweise, dass p eine Serre-Faserung ist, aber keine Hurewicz-Faserung. Hinweis: Sei X = p^{−1}(1) und a : X × {0} = X → E die Inklusion. Beobachtung: X ist kein CW -Komplex.

Aufgabe 6.2. Gib eine Formel in Dollar^{†} für “das” Hopf-Faserbündel h : S^{3} → S^{2} an, wobei man S^{3} und S^{2} als Teilräume von ℝ^{4}, bzw. ℝ^{3} betrachtet.

Aufgabe 6.3. Sei f : X → Y eine punktierte Abbildung. Ergänze die Einzelheiten der Konstruktion der “lange Faserfolge”

⋯ → Ω^{2}Y → ΩF (f) → ΩX → ΩY → F (f) → X ⟶^{f} Y

von f, die in der Vorlesung erwähnt worden ist.

Aufgabe 6.4. Wir haben für 1 ≤ k ≤ n Inklusionen von Hausdorffräumen

V_{n,k} ⊂ V_{n+1,k} und G_{n,k} ⊂ G_{n+1,k}

induziert von der Inklusion 𝔽^{n} = 𝔽^{n} × {0} ⊂ 𝔽^{n+1}. Wir definieren V_{∞,k} = ⋃_{n≥k} V_{n,k} und G_{∞,k} = ⋃_{n≥k} G_{n,k} (mit der Colimes-Topologie).

(a) Beweise, dass die offensichtliche Abbildung V_{∞,k} → G_{∞,k} eine Serre-Faserung ist.

(b) Beweise, dass wir für alle n ≥ 1 einen Isomorphismus von Gruppen

π_{n+1}(G_{∞,k}, ∗) → π_{n}(G(k), 1)

haben (wobei G(k) = O(k), U(k) wenn 𝔽 = ℝ, bzw. ℂ).

(c) Berechne π_{n}(G_{∞,k}^{ℝ}, ∗) für n ≤ 1 und π_{m}(G_{∞,k}^{ℂ}, ∗) für m ≤ 2.

∗Abgabe : Montag 21.11.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html

†Also: eine explizite Formel. Den Ausdruck kenne ich aus der Topologie-Vorlesung von Prof. A. Derighetti.