Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 7^{∗}, 18.11.2011

Aufgabe 7.1. Sei p : E → B eine Serre-Faserung, e ∈ E und b = p(e). Sei i : (F, e) → (E, e) die Inklusion der Faser. Sei n ≥ 0. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Falls i homotop relativ {e} zur konstanten Abbildung ist, so haben wir eine kurze exakte

Folge

0 → π_{n+1}(E, e) ⟶^{p_{∗}} π_{n+1}(B, b) ⟶^{∂} π_{n}(F, e) → 0,

und ∂ besitzt einen Schnitt.

(b) Wir haben Isomorphismen

π_{n}(S^{4}, ∗) ≅ π_{n}(S^{7}, ∗) ⊕ π_{n−1}(S^{3}, ∗).

Insbesondere gilt π_{7}(S^{4}, ∗) ≅ ℤ ⊕ π_{6}(S^{3}, ∗).

Aufgabe 7.2. Sei X ein punktierter Raum. Wir identifizieren hier π_{n}(X) mit [S^{n}, X]_{∗} und definieren das Kompositionsprodukt als

π_{p}(X) × π_{q}(S^{p}) ⟶^{∘} π_{q}(X), ([f], [α]) ↦ [f] ∘ [α] := [fα].

Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Das Kompositionsprodukt ist wohldefiniert, natürlich in X und assoziativ im Sinne, dass ([f] ∘ [α]) ∘ [β] = [f] ∘ ([α] ∘ [β]) in π_{r}(X), für β ∈ π_{r}(S^{q}).

(b) Für [α_{1}], [α_{2}] ∈ π_{q}(S^{p}) gilt

[f] ∘ ([α_{1}] + [α_{2}]) = [f] ∘ [α_{1}] + [f] ∘ [α_{2}].

(c) Sei h ∈ π_{3}(S^{2}) ein Erzeuger, und 1 = [id_{S^{2}}] ∈ π_{2}(S^{2}). Dann gilt (−1) ∘ h = h ∈ π_{3}(S^{2}). Insbesondere ist − ∘ [α] nicht notwendigerweise additiv.

(d) Sei β ∈ π_{q−1}(S^{p−1}). Dann ist − ∘ Σ_{∗}[β] : π_{p}(X) → π_{q}(X) additiv.

(e) Die Klasse 2h liegt im Kernel von Σ_{∗} : π_{3}(S^{2}) → π_{4}(S^{3}). Insbesondere hat π_{4}(S^{3}) ≅ π_{1}^{s} die Ordnung 1 oder 2.

Aufgabe 7.3. Seien (X, ∗) und (Y, ∗) punktierten CW -Komplexe mit X k-zusammenhängend und Y ℓ-zusammenhängend. Wir setzen voraus, dass X oder Y lokal-kompakt ist. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Das Paar (X × Y, X ∨ Y) ist (k + ℓ + 1)-zusammenhängend. Insbesondere ist X ∧ Y auch (k + ℓ + 1)-zusammenhängend.

(b) Die Inklusionen induzieren einen Isomorphismus π_{n}(X, ∗) ⊕ π_{n}(Y, ∗) → π_{n}(X ∨ Y, ∗) für alle 1 ≤ n ≤ k + ℓ.

(c) Sei A eine Menge und n ≥ 2. Die Inklusionen induzieren einen Isomorpismus

⨁_{a∈A} π_{n}(S^{n}) → π_{n}( ⋁_{a∈A} S^{n}).

Aufgabe 7.4. Sei 1 ≤ n < ∞. Beweise : ℝP^{n} ist genau dann einfach, wenn n ungerade ist.

∗Abgabe : Montag 28.11.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html