Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 8^{∗}, 25.11.2011

Aufgabe 8.1 (Präsenzaufgabe am 30.11). Beweise Theorem 3.21 aus der Vorlesung über die Existenz von Eilenberg-Mac Lane Räumen.

Aufgabe 8.2. Beweise, dass es schwache Homotopieäquivalenzen ΩℝP^{∞} → S^{0}, ΩℂP^{∞} → S^{1}, ΩℍP^{∞} → S^{3} und ΩG_{∞,n}^{𝔽} → G(n) gibt (wobei G(n) = O(n), U(n) für 𝔽 = ℝ, ℂ). Bemerkung : Milnor^{†} hat bewiesen, dass falls (X, x) ein punktierter CW -Komplex ist, so hat Ω(X, x) auch den Homotopietyp eines CW-Komplexes. Insbesondere sind die obigen Räume sogar homotopieäquivalent.

Aufgabe 8.3. Beweise, dass Lemma 3.3 aus der Vorlesung auch für n = ∞ gilt.

Aufgabe 8.4. Sei CW die Kategorie der CW -Komplexe und stetigen Abbildungen, und sei F : CW → D ein homotopieinvarianter Funktor (also F (f) = F (g) wenn f und g homotope Abbildungen sind). Sei G : CW → T op der Vergissfunktor. Beweise, dass ein homotopieinvarianter Funktor H : T op → D mit folgenden Eigenschaften existiert:

(a) F = HG, und

(b) H bildet schwache Homotopieäquivalenzen auf Isomorphismen ab. Zeige, dass solch ein Funktor H eindeutig bis auf natürlichen Isomorphismus ist.

Aufgabe 8.5. Betrachte die folgenden Teilräume des ℝ^{n}, n = 1, 2.

(a) X = {0} ∪ {1/n | n ∈ ℕ \ {0}},

(b) Der “Warschauer Kreis” Y, gegeben durch

\begin{matrix}Y = & ([−1, 0] × \{0\}) ∪ (\{0\} × [−1, 1]) ∪ \{(x, sin(πx^{−1})) | 0 < x ≤ 1\} \\ ∪ (\{±1\} × [−2, 0]) ∪ ([−2, 2] × \{−2\}). \end{matrix}

Beweise, dass X und Y keine CW -Strukturen besitzen. Finde CW -Approximationen von X und Y.

Aufgabe 8.6. Seien X und Y CW -Komplexe. Sei X × Y mit der Produkttopologie versehen, und bezeichne mit X ×_{k} Y die Menge X × Y, versehen mit der schwachen Topologie bezüglich der abgeschlossenen Zellen. Beweise, dass die Identität

i : X ×_{k} Y → X × Y

eine CW -Approximation ist.

∗Abgabe : Montag 12.12.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html

†Corollary 3 in: J. W. Milnor, On spaces having the homotopy type of a CW-complex, Trans. Amer. Math.

Soc. 90, 1959, 272–280