Ch. Ausoni, F. Hebestreit WWU Münster, Wintersemester 2011

ÜBUNGEN ZUR ALGEBRAISCHEN TOPOLOGIE II

Blatt 9^{∗}, 9.12.2011

Aufgabe 9.1. Sei (X, A, a) ein punktiertes Paar, seien α, β ∈ π_{2}(X, A, a), und sei

∂ : π_{2}(X, A, a) → π_{1}(A, a)

der Rand. Beweise, dass

α · ∂(β) = β^{−1}αβ

gilt, und dass π_{2}^{#}(X, A, a) abelsch ist.

Aufgabe 9.2. Beweise die folgenden Aussagen.

(a) Jede glatte, geschlossene und einfach-zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homotopieäquivalent zu S^{3}.

(b) Ist F eine glatte, geschlossene und zusammenhängende Fläche, und ist π_{1}(F) unendlich, so ist die universelle Überlagerung von F zusammenziehbar. Insbesondere ist π_{1}(F) die einzige nicht-triviale Homotopiegruppe von F.

Bemerkung: Hier darf man den Satz verwenden, dass glatte geschlossene Mannigfaltigkeiten eine CW -Zerlegung besitzen (siehe z. B. Theorem 3.5 in “J. Milnor, Morse Theory, Princeton University Press”).

Aufgabe 9.3. Beweise die folgende Ergänzung des Satzes von Hurewicz :

Ist n ≥ 2 und ist X (n − 1)-zusammenhängend, so ist

h_{n+1} : π_{n+1}(X, ∗) → H_{n+1}(X, ∗; ℤ)

surjektiv. Bemerke, dass X = S^{1} × S^{1} ein Gegenbeispiel zur entsprechenden Aussage für n = 1 ist.

Aufgabe 9.4. Beweise die folgenden Aussagen, und erkläre wovon sie (Gegen-)Beispiele sind.

(a) Die Homologiegruppen von ℂP^{3} und S^{2}×S^{4} sind isomorph, aber die Homotopiegruppen nicht.

(b) Seien D_{−}^{3} und D_{+}^{3} die Sud und Nordhemisphären von S^{3}. Dann induziert die Inklusion

(D_{+}^{3}, S^{2}) → (S^{3}, D_{−}^{3})

einen Isomorphismus in Homologie, aber nicht in Homotopie.

(c) S^{3} ×ℂP^{∞} und S^{2} haben isomorphe Homotopiegruppen, sind aber nicht homotopieäquivalent. Die gleiche Aussage gilt für S^{n} ×ℝP^{m} und S^{m} ×ℝP^{n} wenn m, n geeignete Werte haben (und hierbei handelt es sich um endliche CW -Komplexe!).

∗Abgabe : Montag 19.12.2011.

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/ausoni/topologie3-WS11-12.html