Plan
- il faut donner des exemples: sur un corps algébriquement clos ils sont de degré 1, sur R 1 ou 2, sur Q il y en a de tous degré via le critère d'Eisenstein;
- traiter le cas d'un anneau factoriel via le lemme de Gauss; attention 2X n'est pas irréductible;
- traiter la problématique de la réduction modulo p; si modulo p c'est irréductible alors c'était vrai sur Z: la réciproque ne marche pas ex: X4+1 et plus généralement Fn(X) avec n ¹ 2epr avec e=0,1;
- on peut parler de Berlekamp; pour factoriser sur Z, on peut utiliser le calcul modulaire: dans les deux cas on obtient un algorithme en temps exponentiel. Cependant en utilisant en 1982, Lenstra et Lovasz ont trouvé un algorithme en temps polynomial pour factoriser sur Z, alors que sur les corps finis, on a encore rien;
- après avoir introduit la notion de corps de rupture, il faut dire que P de degré n est irréductible si et seulement s'il n'a pas de racines dans toutes les extensions de degré inférieure ou égale à n/2. Ce critère est particulièrement utile sur les corps finis car il y a une unique extension de degré donné de Fq plongée dans `Fq;
- parler de nombres algébriques: leur polynôme minimal est toujours irréductible. L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable: exemple p est transcendant; on pourra aussi proposer comment construire explicitement les polynômes minimaux via le résultant;
- points constructibles: x Î R est constructible si et seulement si le sous-corps de C engendré par x et ses conjugués est de degré une puissance de 2: autrement dit si le corps de décomposition de x est de degré une puissance de 2.
- notion de clôture intégrable et d'entiers algébriques pour résoudre des équations diophantiennes; exemple Z[iÖ2] pour résoudre x2+2y2=z2 (moins classique que x2+y2=z2 alors que le raisonnement est strictement identique); pour la culture on pourra évoquer les travaux de Kummer sur le grand théorème de Fermat;
- les polynômes cyclotomiques sont irréductibles sur Z; on peut aussi donner leur factorisation modulo p;
Développements
- irréductibilité des polynômes cyclotomiques;
- nombre de polynômes irréductibles sur Fq;
- exemples de polynômes irréductibles sur Z et réductible modulo p pour tout p: les Fn pour n ¹ 2e pr avec e=0,1;
- algorithme de Berlekamp;
- théorème de l'élément primitif avec un calcul explicite via le résultant (tout extension finie est corps de rupture ).
Questions
- Calculer le polynôme minimal de Ö3+Ö7 et en déduire un élément primitif de Q[Ö3,Ö7].
- Soit A et B deux polynômes irréductibles unitaires sur Q. Le système en d'équations A(X)=B(Y-X)=0 possède comme solutions les couples (xa,xb+xa) où xa (resp. xb) décrit les solutions de A(X)=0 (resp. B(X)=0). On considère alors les polynômes A(X) et B(Y-X) comme des polynômes à valeurs dans K[Y] et on introduit leur résultant qui est un polynôme en Y dont les zéros sont d'après ce qui précède, exactement les sommes des zéros de A avec ceux de B.
- Dans notre cas on a A(X)=X2-3 et B(X)=X2-7. Le résultant en question est donné par le déterminant
soit après calcul Y4-20Y2+16ê
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ê1 0 -3 0 0 1 0 -3 1 -2Y Y2-7 0 0 1 -2Y Y2 -7 ê
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- Factorisez X9-X+1 sur F3.
- On vérifie rapidement que Q n'a pas de racine dans F3. On cherche alors ses racines dans F9. Pour a Î F9, on a a9=a de sorte que a9-a+1=1 et donc Q n'a pas de racine dans F9.
- Afin de calculer dans F27, on commence par le décrire concrètement: on vérifie aisément que X3-X-1 n'a pas de racines dans F3 et est donc irréductible sur F3 et F27 @ F3[X]/(X3-X-1).
- Soit alors a Î F27 tel que a3=a+1. On a alors a9=a3+1=a+2=a-1 et donc finalement a est une racine de Q dans F27 de sorte que Q possède un facteur irréductible de degré 3 sur F3, à savoir X3-X-1, soit X9-X+1=(X3-X-1)(X6+X4+X3+X2-X-1).
- Cherchons de manière générale toutes les racines dans F27; un élément quelconque s'écrit sous la forme x=a a2 +b a+ c avec a,b,c Î F3. On a alors x9=a a18 + b a9+c avec a9=a-1 et donc a18=a2+a+1 de sorte que x9-x+1=a a+a-b+1 ce qui impose a=0 et b=1 soit x=a,a+1,a-1.
- On en déduit alors que X6+X4+X3+X2-X-1 n'a pas de racines dans F27 comme il n'en avait pas non plus dans F9, il est donc irréductible.
- A quelle condition un polynôme P à coefficients dans Fp de degré n est-il irréductible sur
Fpm? Dans le cas où P est irréductible sur Fp, on donnera des précisions sur les
degrés des facteurs irréductibles de P sur Fpm. En particulier pour n=5, donner m minimal
tel que tout polynôme de degré 5 à coefficients dans Fp soit totalement décomposé (resp. possède
une racine) sur Fpm.
- Si P est réductible sur Fp, il l'est sur toute extension Fpm. Supposons donc P irréductible sur Fp de sorte que toutes les racines de P, vues dans [`(F)]p, sont dans Fpn et aucune n'appartient à un sous-corps strict. On regarde alors P comme un polynôme dans Fpm[X] dont on se demande s'il est encore irréductible. Il faut regarder s'il possède ou non des racines dans Fpmr pour r £ n/2 et donc si Fpn Ì Fpmr, soit n divise mr ce qui est possible si et seulement si n et m ne sont pas premiers entre eux. En outre en notant d=n Ùm, les facteurs irréductibles sont alors de degré r un multiple de n/d.
- Pour n=5, la décomposition en facteur irréductible donne en prenant les degrés les décompositions suivantes de 5: 5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1. Si on veut être sur d'avoir toutes les racines (resp. au moins une racine) il faut donc se placer dans Fp60 (resp. Fp10) avec 60=5.4.3 (resp. 10+5.2).
- Montrer que si K est un corps de caractéristique p non nulle, le corps M=K(X,Y) des fractions
rationnelles en deux indéterminées à coefficients dans K est une extension de degré p2 de son sous-corps
L=K(Xp,Yp). Montrer que si a est un élément de M qui n'est pas dans L, son polynôme minimal
sur L est de degré p. En déduire que le mot "séparable" dans l'énoncé du théorème de l'élément primitif
n'est pas inutile.
- Montrons d'abord que si a est un élément d'un corps L de caractéristique p non nulle qui n'a pas de racine p-ième dans L, le polynôme U=Tp-a est irréductible sur L. En effet, si b est une racine de U dans une extension N de L, le polynôme U se factorise comme (T-b)p dans N[T]. Si donc U=PQ est un factorisation non triviale de U en polynômes unitaires de L[X], on a P=(T-b)k, avec 0 < k < p. Le coefficient constant ±bk de P appartient à L. Comme bp appartient aussi à L, il en est de même de b=(bk)u.(bp)v, une contradiction.
- En reprenant les notations de l'exercice et en posant N=K(X,Yp), on déduit de ce qui précède que N/L et M/N sont de degré p. Si a = R(X,Y) est un élément quelconque de M, sa puissance p-ième s'écrit S(Xp,Yp), où S est la fraction rationnelle obtenue en élevant à la puissance p-ième chacun des coefficients de R. Donc ap est dans L, et le degré de a sur L est au plus p. On en déduit que M/L n'est pas monogène, d'où le résultat.
- Dans les applications on peut aussi évoquer l'algèbre linéaire: soit u un endomorphisme de V @ Kn dont
on note cu et pu respectivement les polynômes caractéristique et minimal:
- cu est irréductible si et seulement si V n'a pas de sous-espace stable par u
Si V a un sous-espace stable W par u, en complétant une base de W en une base de V, la matrice de u y est diagonale par bloc et son polynôme caractéristique est divisible par celui de u|W. Réciproquement si cu est de la forme PQ avec P et Q premier entre eux le lemme des noyaux décompose l'espace en une somme directe de kerP(u) et de kerQ(u). Si cu=Pr avec P irréductible, on a alors E=kerP i.e. pu=P. Si on prend x quelconque non nul, l'espace vectoriel engendre par x,u(x),u2(x),¼ est donc au plus de dimension degP (en fait on a égalité), et par hypothèse est donc égal à l'espace tout entier, i.e. r=1.
- u est cyclique avec pu une puissance d'un polynôme irréductible si et seulement si V est
indécomposable sous u;
- Dans le sens direct, en utilisant la structure de K[X]-module sur V induite par u, on a V @ K[X]/(pu). Si V était décomposable il serait en tant que K[X]-module isomorphe à un produit direct K[X]/P1 ×K[X]/P2, ce qui impose P1=Pr et P2=Ps avec P irréductible et pu=Pr+s. Or le polynôme minimal de ce produit direct est visiblement Pmax(r,s) soit donc min(r,s)=0.
- Réciproquement si V est indécomposable alors u est cyclique. Par ailleurs si son polynôme minimal n'était pas une puissance d'un polynôme irréductible, alors le lemme des noyaux contredirait l'indécomposabilité de V.
- u est semi-simple si et seulement si pu est sans multiplicité, i.e. est premier avec pu¢. On peut tester si u est semi-simple de manière algorithmique: on calcule le polynôme caractéristique cu et on teste si (cu)/(cu Ùc¢u) annule u;
- outre le polynôme minimal pu et le polynôme caractéristique cu, on associe à tout endomorphisme une suite de polynômes qui se divise m1 | m2 | ¼| mr avec mr=pu et Õi mi=cu: ce sont les invariants de similitudes.
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- Exercices corrigés
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