Comme d'habitude il faut éviter le piège de la leçon "fourre-tout". A priori il ne faut pas s'attarder sur la notion de polynôme irréductible puisqu'on s'intéresse aux racines. Il faut plutôt axer la leçon sur les racines: leur nombre, leur localisation, les méthodes pour les trouver...

• Dans une première partie, après avoir rappelé que l'on supposait connu la notion de polynôme, de polynôme dérivée..., on définira les notions élémentaires: racine, multiplicité. On enchaînera avec les propriétés élémentaires: leur nombre est majorée par le degré, sur C il est même égal (théorème de d'Alembert-Gauss). Enfin on passera aux relations coefficients racines et aux sommes de Newton en donnant des applications par exemple: calculer une somme de tangente, équations dont les racines forment un triangle équilatéral, ellipse de Steiner...
• Dans la deuxième partie, je pense qu'il faut s'intéresser au coeur de la leçon: la localisation des racines. On commencera par Q (c'est facile, il y a un nombre fini de test à faire), puis sur R avec les lemmes de Rolle, Descartes puis le théorème de Sturm, et enfin sur C avec le théorème de Gauss-Lucas, diverses majoration du module des racines, minoration de la séparation des racines. Enfin on fera un paragraphe sur les méthodes pour trouver des racines: méthode de Newton (sur R), de Laguerre (sur C)
• Dans les thèmes plus évolués, on pourra traiter (dans le désordre et à organiser):
  • le degré 2,3,4 avec des formules et évoquer le cas de degré supérieur ou égal 5 où, d'après Galois, il n'y pas de formule par radicaux;
  • polynôme d'interpolation de Lagrange: partage de secret;
  • méthode de Newton et de Laguerre;
  • nombres algébriques avec des exemples et des contre-exemples: transcendance de p;
  • polynômes orthogonaux avec les points de Gauss;
  • les polynômes cyclotomiques....théorème de Kronecker
  • Continuité des racines des polynômes.
  • le résultant avec des applications: calcul de polynômes minimaux de certains entiers algébriques, propriétés topologiques sur certains ensemble de matrices (exemple: l'ensemble des matrices possédant n valeurs propres distinctes est un ouvert connexe de M_n(C)), calcul de l'intersection de deux coniques (plus généralement théorie de l'élimination);
  • calcul du nombre de racines au moyen de la signature d'une forme quadratique (généralisation du discriminant en degré 2).
  • code BCH
  • étant donnée une matrice symétrique A, il existe une matrice P produit de (n-2) matrices de Householder, telle que P^t A P soit tridiagonale (Ciarlet p.120) et on dispose d'un algorithme. En appliquant alors la méthode de Givens, on obtient des valeurs approchées des valeurs propres: les polynômes caractéristiques des mineures principaux forment une suite de Sturm ce qui permet de localiser les racines aussi précisément que l'on veut par exemple par dichotomie (Ciarlet p.123).

• Le lemme de Descartes.
• Le théorème de Sturm.
• Diverses majorations du module des racines d'un polynôme.
• Séparation entre les racines.
• Points de Gauss.
• Résultant et applications.
• Ellipse de Steiner.
• Continuité des racines avec l'application aux matrices complexes à valeurs propres distinctes.
• Gauss-Lucas avec application.
• Transcendance de p.
• Signature d'une forme quadratique pour calculer le nombre de racines réelles.
• Sommes de Newton
• Théorème de Kronecker: un polynôme unitaire de Z[X] dont les racines complexes sont toutes de module inférieur ou égal à 1 alors ce sont des racines de l'unité.
• Polynôme de Tchebychev: en particulier on montre que sup_{x Î [-1,1]} |P(x)| ³ [1/(2^n-1)] où P est unitaire réel de degré n; on a égalité si et seulement si P=[(T_n)/(2^n-1)].

• Soit P(X) Î Q[X] et x une racine de P(X) de multiplicité strictement supérieure à (degP)/2; montrez que x Î Q.

  On raisonne par récurrence sur le degré de P; le résultat est évident pour P de degré 1, supposons alors le résultat vrai pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à n et soit P de degré n+1. On note d =(P ÙP¢) de degré supérieur ou égal à 1 par hypothèse car d(x)=0. Ainsi d divise P et donc P n'est pas irréductible (degd < degP). Soit donc P=QR avec degQ et degR sont dans Q[X] de degré inférieurs à n. Par hypothèse on a v_P(x)=v_Q(x)+v_R(x) > (n+1)/2 et donc soit v_Q(x) > (degQ)/2 soit v_R(x) > (degR)/2 et par hypothèse de récurrence x Î Q.

• Soit P(X)=a_nXⁿ+¼+a₁X+a₀ un polynôme à coefficient dans Z. Montrez que si a/b est une racine rationnelle de P alors b|a_n et a|a₀ puis que pour tout m Î Z, (bm-a)|P(m).
  • On écrit en multipliant par bⁿ: a_naⁿ+¼+a₁ab^b-1 + a₀ bⁿ de sorte que b (resp. a) divise a_naⁿ (resp. a₀bⁿ): on conclut en disant que a et b sont pris premiers entre eux.
  • Pour la deuxième partie (bX-a) est un polynôme entier irréductible car de degré 1 et de contenu 1, qui divise P(X) de sorte qu'il existe Q(X) à coefficients entiers tel que P(X)=(bX-a)Q(X) et donc (bm-a) divise P(m).
• Soient a,b,g,d les racines complexes de X⁴-2X³+aX²+bX-1; trouvez a,b pour que l'on ait a+b =g+d et ab =- gd et donnez les racines.

  On a donc a+b+g+d =2=2(a+b), abgd =1=-(ab)² de sorte que a,b (resp. g,d) sont les racines de X²-X+i (resp. X²-X-i). En outre on a (b+a)(g+ d)+(ab+g+ d)=-a=1 et ab(g+ d)+ gd(a+ b)=b=0.

• Soient a,b,c des nombres complexes; montrez qu'une condition nécessaire et suffisante pour que les points A,B,C du plan réel, d'affixes respectives a,b,c, forment un triangle isocèle rectangle en A, est c²+b²-2a(b+c)+2a²=0. En déduire qu'une CNS pour que les solutions a,b,c de l'équation x³+px+q forment un triangle rectangle isocèle est 27q²-50p³=0.

  Une CNS pour que ABC soit rectangle isocèle en A est b-a=±i (c-a), soit (b-a)²+(c-a)²=0, i.e. b²+c²+2a²=2a(b+c). En outre on a a+b+c=0, abc=-q et ab+ac+bc=p. Le but est alors d'éliminer dans la CNS a,b,c et de les remplacer par p et q; on a a²+b²+c²=(a+b+c)²-2p=-2p de sorte que la CNS s'écrit -2p+a²=-2a² soit 3a²=2p. Or on a a³=-pa+q ¹ 0 de sorte que la CNS s'écrit -3pa+3q=2pa, soit a=[(3q)/(5p)]. Ainsi l'équation 3a²=2p devient 27q²-50p³=0.

• Soit P un polynôme réel totalement décomposé dans R. Montrez que si z Î C alors z est réel et est une racine multiple de P. (appliquez simplement le théorème de Rolle).
• Trouvez les solutions du système d'équations
  

  ì ï í ï î x2+y2+z2=2 x3+y3+z3=2 x4+y4+z4=2

  Les relations de Newton donnent 2=s₁²-2s₂=s₁³-3s₂ s₁+3s₃=s₁⁴-4s₂s₁²+4s₃s₁+2s₂² soit s₂=s₁²/2 -1 et 3 s₃=2 - s₁³+3 s₁ (s₁²/2 -1) et la dernière équation devient alors s₁ (s₁³/6 -2 s₁ + 8/3)=0. Les racines de X³-12X+16 étant 2 et -4, on obtient alors s₁=0,2,-4 et donc s₂=-1,1,7 et s₃=2,0,-6. Les triplets (x,y,z) sont alors les racines des polynômes X³-X-2, X³-2X²+X, X³+4X²+7X+6.

• Soient a₁,¼,a_n des nombres strictement positifs; montrez que (a₁ ¼a_n)^1/n £ [(a₁+¼+a_n)/(n)] et déterminez tous les polynômes à coefficients 1,-1,0 ayant toutes leurs racines réelles.

  L'inégalité proposée découle directement de la concavité du logarithme [(lna₁ + ¼+ lna_n)/(n)] £ ln[( a₁ + ¼+ a_n)/(n)]. On applique cette inégalité aux carrés des racines de P(X)=Xⁿ- s₁ X^n-1 + ¼+ (-1)ⁿ s_n, soit (s_n²)^1/n £ [(s₁²-2s₂)/(n)] £ 3/n, soit n £ 3. Une inspection cas par cas donne X ±1, X² ±X -1, X³+X² -X -1 et X³-X²-X +1.

• Soit P(X)=a_d X^d+ ¼+a₀ Î C[X] avec a_d ¹ 0. Montrez que si a est une racine de P, on a
  

  |a| £ M:= sup 0 £ i < d  (d |ai| |ad| )[1/(d-i)]

  Soit z Î C tel que |z| > M alors, pour 0 £ i < d, on a |a_i| < [(|a_d|)/(d)] |z|^d-i et donc |a_d-1 z^d-1+ ¼+a₀| < |a_d z^d| soit P(z) ¹ 0.

• Soient P et Q deux polynômes non constants de C[X] tels que l'ensemble des racines de P (resp. P-1) soit égal à l'ensemble des racines de Q (resp. Q-1). Montrez que P=Q

  Soit R=P-Q, on a degR £ n et on va montrer que R a plus de n+1 racines ce qui impliquera que R est nul. Par hypothèse R s'annule sur les racines de P et de P-1. Le nombre de racines distinctes de P est égal à degP - degP ÙP¢. Or comme P et P-1 sont premier entre eux, P ÙP¢ et (P-1)ÙP¢ sont deux diviseurs distincts de P¢ de sorte que degP ÙP¢+ deg(P-1) ÙP¢ £ n-1. Il en résulte que R s'annule sur plus de 2n-(n-1)=n+1 racines distinctes.

• On considère le polynôme X¹⁴-7.13.X²-14.6X-13.6. Que pouvez vous dire du nombre de racines réelles positives et négatives de ce polynôme en utilisant la règle de Descartes puis celle de Sturm.
• On considère la courbe paramétrée x(t)=t²+t+1, y=[(t²-1)/(t²+1)]. En donner une équation algébrique.

  L'équation algébrique est donnée par le résultant des polynômes à coefficient dans Q[x,y], t²+t+1-x et t²-1-y(t²+1), soit
  

  ê ê ê ê ê ê ê 1 1 1-x 0 0 1 1 1-x 1-y 0 -1-y 0 0 1-y 0 -1-y ê ê ê ê ê ê ê

  soit y²x²-2yx²+(y+x)²-2x+3=0.

• Montrez que les racines sont continues en le polynômes.
• Montrez que l'ensemble des matrices complexe à valeurs propres distinctes, est un ouvert connexe de l'ensemble des matrices.
  • Soit A une matrice possédant n valeurs propres distinctes de sorte que son polynôme caractéristique est scindé à racines simples. D'après la continuité du polynôme caractéristique et de celle des racines d'un polynôme, on en déduit que pour tout A¢ proche de A, le polynôme caractéristique de A¢ possède, sur C, n racines distinctes. (Si A et A¢ sont réelles, alors leurs racines le sont aussi: pour A c'est vrai par hypothèse, pour A¢, ses racines sont complexes conjuguées et proches de celles de c_A, on conclut en remarquant que ces dernières sont simples.)
  • On rappelle que GL_n(C) est connexe car c'est le complémentaire des zéros du déterminant qui est un polynôme en n² variables. Explicitement étant données P₁,P₂ deux matrices inversibles, on considère le polynôme det(P₁z+(1-z)P₂). Le complémentaire de l'ensemble (fini) des zéros de ce polynôme est connexe; on considère alors un chemin qui relie 0 à 1 dans ce complémentaire, ce qui fournit un chemin de P₁ à P₂ dans GL_n(C).
  • En ce qui concerne les matrices à valeurs propres distinctes, c'est le complémentaire des zéros du polynôme en n² variable définit comme le discriminant du polynôme caractéristique. Explicitement on procède comme ci-dessus.
• Calculer le discriminant du polynôme P(X) = X³ + pX + q
  
  (i) En appliquant la définition.
  (ii) En calculant la suite de Sturm S(P,P¢).
• Calculer le résultant R_Y(P,Q) des polynômes P_X(Y)=X²-XY+Y²-1 et Q_X(Y)=2X²+Y²-Y-2 considérés comme des éléments de R[X][Y], i.e. comme des polynômes en Y à coefficients dans R[X]. Trouver alors les points d'intersections des ellipses d'équations P=0 et Q=0.
  • On considère donc P_X(Y) et Q_X(Y) comme des polynômes à coefficients dans C[X]. Le résultant est alors donné par le déterminant
    

    ê ê ê ê ê ê ê 1 -X X2-1 0 0 1 -X X2-1 1 -1 2X2-2 0 0 1 -1 2X2-2 ê ê ê ê ê ê ê

    Un calcul aisé nous donne alors 3X(X²-1)(X-1).
  • Les points d'intersection cherchés ont pour abscisse 0,1 et -1 ce qui donne, en calculant Y, les points (0,-1), (1,0), (1,1) et (-1,0), soit 4 points réels (pour rappel le théorème de Bezout donne 4 points à priori complexe dans le plan projectif).
• Soient A et B deux polynômes de K[X] où K est un corps. Fabriquez un polynôme dont les racines sont les sommes d'une racine de A et d'une racine de B (on réfléchira à quels sont les Y solutions du système A(X)=B(Y-X)=0). Construisez un polynôme à coefficients entiers qui possède Ö2 + ³Ö{7} pour racine.
  • (i) Le système en d'équations A(X)=B(Y-X)=0 possède comme solutions les couples (x_a,x_b+x_a) où x_a (resp. x_b) décrit les solutions de A(X)=0 (resp. B(X)=0). On considère alors les polynômes A(X) et B(Y-X) comme des polynômes à valeurs dans K[Y] et on introduit leur résultant qui est un polynôme en Y dont les zéros sont d'après ce qui précède, exactement les sommes des zéros de A avec ceux de B.
  • (ii) Appliquons ce qui précède à A(X)=X²-2 et B(X)=X³-7. Le résultant en question est donné par le déterminant
    

    ê ê ê ê ê ê ê ê 1 0 -2 0 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 0 -2 -1 3Y -3Y2 Y3-7 0 0 -1 3Y -3Y2 Y3-7 ê ê ê ê ê ê ê ê

    soit après calcul Y⁶-6Y⁴-14Y³+12Y²-84Y+41.