In this talk, I will motivate and present some results in the algebraic theory of differential equations with an emphasis on their history. Starting from the classical formulation of Hilbert s 21st problem, we will visit some basic results in the field of D-modules that have been inspired by this question: A crucial notion in modern Algebraic Analysis is that of a Riemann-Hilbert correspondence in its various incarnations, building bridges between analytic and topological categories. I will in particular describe the important steps towards understanding irregular singular points in dimension one. The key ingredient for their study is a phenomenon already described by Stokes in the 19th century. Finally, we will see some applications of recent groundbreaking works in this area, which allow for a purely topological study of certain data encoded in a differential system.

Motivated by dreams of finding a geometric incarnation of the p-adic Langlands correspondence in the cohomology of local Shimura varieties, in recent years, there has been an increasing interest in the p-adic Hodge theory of rigid-analytic varieties that are not necessarily proper (e.g. Stein). In this talk, I will give an introduction to this subject, and I will survey recent advances made by Colmez, Dospinescu, and Niziol. In particular, I will report on a comparison theorem describing the geometric p-adic pro-étale cohomology in terms of de Rham data. If time permits, I will explain how, thanks to the Condensed Mathematics developed by Clausen and Scholze, one can prove such comparison also in cases where the relevant cohomology groups are otherwise pathological as topological vector spaces.

Un endomorphisme f d’une variété projective X est dit polarisé s’il existe un fibré en droites L ample sur X tel que f*L est linéairement équivalent à L otimes d. Lorsque f et X sont définis sur un corps de nombres K, on peut associer à un tel endomorphisme une fonction hauteur hf qui est invariante par la dynamique au sens où hf(f(x))=dhf(x) pour tout x dans X(Kbar). Un théorème de Northcott implique alors que pour tout x dans X(Kbar), hf(x)=0 si et seulement si x est prépériodique i.e. il existe n>m positifs tels que fn(x)=fm(x), et que pour toute extension finie L de K, il existe un nombre fini de points L-rationnels tels que hf(x)=0. Dans un travail en commun avec Gabriel Vigny, nous avons étudié une question similaire portant sur les familles de tels endomorphismes, et nous avons obtenu un résultat semblable à celui énoncé ci-dessus lorsque X et f sont définis sur les corps des fonctions rationnelles d’une variété projective complexe. Le but de l’exposé sera de présenter plus en détail le cas des corps de nombres, puis de préciser la question étudiée en famille et finalement de donner une idée de preuve dans un cas simple.

It is well known since before Zariski that the set of (equivalent classes) of valuations on the function field of an algebraic curve is in correspondence with the points of the curve. In higher dimensional varieties, this picture gets more complicated: Not every valuation is divisorial, there are valuations of different ranks and the geometry of the space of valuations highly depends on when you consider two valuations to be equal. Inspired by understanding the relationship between Okounkov bodies and the full rank valuation that defines them, we developed tools to understand geometrically the space of full rank valuations on function fields of algebraic varieties. The approach will be through the study of valuations of a simple kind called higher rank quasi-monomial valuations. These valuations can be completely expressed in combinatorial terms: They are partial derivative operators on the dual cone complex of a simple normal crossing divisor. These led us to consider tangent cones of dual cone complexes, which will play the role of skeleta in this context. In particular, the space of all higher rank valuations can be obtained as a limit of tangent cones of cone complexes.

J’expliquerai comment certaines relations entre des produits de fonctions trigonométriques ou elliptiques sont gouvernées par l’homologie de groupes linéaires comme GL_n(Z). La raison cachée derrière cette observation est une jolie construction topologique et le chemin menant de celle-ci aux objets holomorphes mentionnés plus haut passe par l’étude d’arrangements d’hyperplans dans des produits de courbes elliptiques. Si le temps le permet je conclurai avec une application à l’arithmétique de certaines fonctions L de Hecke.

Pour construire la correspondance de Langlands pour les corps de fonctions, les cohomologies des champs de chtoucas jouent un role important. Ces champs sont des analogues des variétés de Shimura qui sont utilisées pour la correspondance de Langlands pour les corps de nombres. Dans cet exposé, je vais rappeler la definition des champs de chtoucas et leurs cohomologies, avec exemples. Ensuite je vais parler de quelques propriétés importantes de la cohomologie des champs de chtoucas et de leurs applications dans la correspondance de Langlands.

Si la cohomologie des courbes modulaires fournit une réalisation de la correspondance de Langlands locale pour GL2, la cohomologie complétée p-adique de la tour des courbes modulaires permet de réaliser la correspondance de Langlands p-adique pour GL2. Le but de cet exposé est de présenter ce phénomène et d'expliquer comment il peut être utilisé pour démontrer des théorèmes de modularité.

Dans cette exposé, nous allons introduire les différentes algèbres de Hall que l'on peut associer aux catégories de faisceaux cohérents sur une courbe projective lisse ou aux catégories de représentations de carquois. Le principe de base est simple : on utilise les extensions entre objets de la catégorie donnée pour obtenir une multiplication sur différents espaces. On obtient ainsi les algèbres de Hall constructibles et cohomologiques. Ces algèbres gardent encore beaucoup de mystères, mais elles fournissent des constructions géométriques pour les groupes quantiques, algèbres quantiques affines et Yangiens. Leur étude fait intervenir des outils géométriques et combinatoires. Nous illustrerons cela par des exemples.

I will explain the Frobenius structure conjecture of Gross-Hacking-Keel in mirror symmetry, and an application towards cluster algebras. Let U be an affine log Calabi-Yau variety containing an open algebraic torus. We show that the naive counts of rational curves in U uniquely determine a commutative associative algebra equipped with a compatible multilinear form. Although the statement of the theorem involves only elementary algebraic geometry, the proof employs Berkovich non-archimedean analytic methods. We construct the structure constants of the algebra via counting non-archimedean analytic disks in the analytification of U. I will explain various properties of the counting, notably deformation invariance, symmetry, gluing formula and convexity. In the special case when U is a Fock-Goncharov skew-symmetric X-cluster variety, our algebra generalizes, and gives a direct geometric construction of, the mirror algebra of Gross-Hacking-Keel-Kontsevich. The comparison is proved via a canonical scattering diagram defined by counting infinitesimal non-archimedean analytic cylinders, without using the Kontsevich-Soibelman algorithm. Several combinatorial conjectures of GHKK, as well as the positivity in the Laurent phenomenon, follow readily from the geometric description. This is joint work with S. Keel, arXiv:1908.09861. If time permits, I will mention another application towards the moduli space of KSBA (Kollár-Shepherd-Barron-Alexeev) stable pairs, joint with P. Hacking and S. Keel, arXiv: 2008.02299.

Gabber proved in his thesis the following beautiful theorem: If X is the separated union of two affine schemes, then the Brauer group agrees with the cohomological Brauer group. Later Lieblich gave in his thesis a rather slick new proof using the theory of twisted sheaves. In this talk I want to sketch Lieblich’s proof and if time permits I´ll explain why I got interested in this statement.

Algebraic K-theory is a very general cohomology theory for rings, schemes (and more) which single-handedly captures information about numerous other invariants: algebraic cycles, class groups, étale cohomology, special values of zeta functions, etc. The main modern method through which it is studied is to approximate it via cyclic and topological cyclic homology; these latter theories are closer to de Rham, crystalline, and prismatic cohomology. In this talk I will provide an introduction to algebraic K-theory, including some of the main historical examples, before overviewing more recent advances.

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Une variété algébrique est dite rationnelle si elle est birationnellement équivalente à l'espace projectif. Le problème de décider quelles variétés sont rationnelles occupe les géomètres algébristes depuis le 19ème siècle et est encore, malgré de grands progrès, largement ouvert à l'heure actuelle. La théorie des jacobiennes intermédiaires joue un rôle tout particulier dans ces questions dans le cas des variétés de dimension 3, aussi bien sur les complexes (Clemens et Griffiths, dans les années 1970) que sur des corps non algébriquement clos (travaux en collaboration avec Olivier Benoist). L'exposé sera consacré au contexte et aux principales idées sous-jacentes au rôle des jacobiennes intermédiaires dans les questions de rationalité.

Je vais d'abord introduire les différentes notions de réductions pour les variétés abéliennes dans le cadre des courbes elliptiques avec un survol des différentes questions arithmétiques qui y sont liées. Cela sera motivé par quelques exemples que je garderai au cours de l'exposé. J'introduirai ensuite les "modèles de Néron" succinctement pour montrer comment généraliser en dimension supérieure ce qu'on aura vu. Je donnerai ensuite une preuve (presque) complète du critère de bonne réduction de Néron-Ogg-Shafarevich pour mettre en lumière les relations entre géométrie et arithmétique. Je finirai par mentionner les résultats fondamentaux de Grothendieck concernant la réduction semi-stable et quelques conséquences.

Cet abstract contient des symboles mathématiques qui sont très méchants ! katex.render("c = \\pm\\sqrt{a^2 + b^2}", element, { throwOnError: false });

Classical Hodge theory explains us that the cohomology of a smooth projective complex variety verifies a lot of nice properties. After a few reminders about classical Hodge theory and about tropical varieties, I will present a tropical analogous of these properties for the cohomology of a tropical variety [arXiv:2007.07826]. This tropical Hodge theory is strongly linked to combinatorial Hodge theory, as well as to the limit of families of complex varieties. I will only detail the latter. This will allow me to talk about the tropical Hodge conjecture and to discuss its links with the classical Hodge conjecture. Finally, I will present a work in preparation with O. Amini where we use the tropical Hodge theory to prove the tropical Hodge conjecture for rationally triangulable tropical varieties.

I will introduce how to formulate the weight monodromy conjecture for families, and I will discuss my trial to prove it in the case of families of hypersurfaces in a projective space by generalizing Scholze's method.

In 1982, Drinfeld constructed an automorphic form on GL_2 for every irreducible rank-2 local system on a curve over a finite field, satisfying the Hecke eigenproperty. His construction is purely geometric and launched what is today known as the geometric Langlands program. In this talk, I will review the early history of the geometric Langlands program and explain Drinfeld's original argument.

I will survey the relations between positivity of line bundles and vector bundles from the perspective of algebraic geometry, phrased in terms of global sections, and their differential geometric counterparts, which involve (possibly singular) Hermitian metrics of nonnegative curvature. The main emphasis will be on positivity of direct images.

The Kodaira dimension is considered to be the most important birational invariant of a complex projective variety. In the talk I will survey the works of Kawamata, Viehweg, Kollár, Campana, Cao, Paun etc. on the C_{c,m}-conjecture, and especially concentrate on showing how to deduce these C_{n,m}-type results from the positivity results (of direct images) presented in Sébastien's talk.

By the modularity theorem, an elliptic curve E over Q of conductor N admits a surjection phi from the modular curve X_0(N). The Manin constant c of such a modular parametrization of E is the integer that scales the differential associated to the normalized newform on Gamma_0(N) determined by the isogeny class of E to the phi-pullback of a Néron differential of E. For optimal phi Manin conjectured his constant to be 1, and we show that in general it divides deg(phi) under mild assumptions at the primes 2 and 3. This gives new restrictions on the primes that could divide the Manin constant. The talk is based on joint work with Michael Neururer and Abhishek Saha.

Mazur's Galois deformation theory plays an essential role in modularity lifting questions. Recently, Galatius and Venkatesh has constructed a derived version of Galois deformation ring. They have shown that under some standard conjectures, the homotopy algebra of this derived Galois deformation ring has a natural action on the homology of arithmetic groups. In this talk, we will give a short introduction to their work with some motivations explained.

Inventé par Whitney, l'un des pionnier de la théorie des singularités, dans son étude des graphes et leur classification par isomorphisme, les matroïdes apparaissent aujourd'hui naturellement en géométrie algébrique, à la fois comme une mesure de complexité des singularités mais aussi dans l’étude des dégénérescences des variétés algébriques pour dégager une notion de lissité imposée aux objets tropicaux limites. \n A un matroïde, on peut associer un anneau de Chow défini à l'aide des générateurs et relations qui prend en compte la combinatoire du matroïde. Récemment, Adiprasito, Huh et Katz ont montré que cet anneau de Chow admet une théorie de Hodge analogue à celle de l'anneau de cohomologie d'une variété algébrique complexe. Nous avons démontré avec Matthieu Piquerez que via un isomorphisme de classe de cycle, celle-ci est en réalité une théorie de Hodge pour la cohomologie d'une variété tropicale associée au matroïde, une sorte de compactification magnifique tropicale du matroïde, ce qui permet de simplifier le travail de Adiprasito-Huh-Katz, et suggère aussi l'existence d'une théorie de Hodge pour les variétés tropicales plus générales. \n Le but de l'exposé est donc de présenter les matroïdes comme des objets mathématiques intéressants à étudier du point de vue de la géométrie algébrique, de raconter cette théorie de Hodge pour leur anneau de Chow, et d'expliquer le lien vers la cohomologie des variétés tropicales.

La géométrie énumérative est la branche des mathématiques dont l'objectif est de répondre à des questions du type: Combien de droites passent par 2 points dans le plan (facile)? Combien de coniques passent par 5 points dans le plan (facile)? Combien de cubiques avec un point double passent par 8 points dans le plan (moins facile)? Si l'on compte les courbes définies sur le corps C, alors ce nombre de courbes ne dépend pas de la configuration de points choisie, tout comme le nombre de racines complexes d'un polynôme en une variable à coefficients complexes est toujours égal à son degré. En revanche, si l'on compte les courbes définies sur le corps R, alors ce nombre dépend fortement des points choisis, ce qui complique quelque peu le problème. Ces questions ont aussi un sens en géométrie tropicale, un domaine au carrefour de la géométrie et de la combinatoire développé ces vingt dernières années. Le but de cet exposé sera de fournir une introduction à la géométrie énumérative, et d'illustrer les interactions des trois aspects réel complexe et tropical. En particulier, je parlerai des invariants raffinés tropicaux, où les nombres de courbes ne sont plus des entiers, mais des polynômes.

Le théorème de Brauer-Siegel est un résultat asymptotique sur l'arithmétique des corps de nombres; il affirme que le produit du nombre de classes par le régulateur des unités se comporte comme la racine carrée du discriminant. J'expliquerai cet énoncé et les outils de la preuve, puis décrirai deux problèmes à la fois analogues et différents concernant l'arithmétique des surfaces (projectives, lisses) sur un corps fini et l'arithmétique des variétés abéliennes sur un corps de nombres.

La conjecture de Colmez est un énoncé qui relie la hauteur de Faltings des variétés abéliennes à multiplication complexe à certaines combinaisons linéaires des dérivées logarithmiques de fonctions L d'Artin. Pour les courbes elliptiques, cet énoncé est une conséquence de la formule de Chowla-Selberg. Dans cet exposé, nous présenterons une version "moyenne" de cette conjecture qui a été démontrée récemment par Anreatta-Goren-Howard-Madpusi Pera (et indépendamment par Yuan-Zhang).