Optimisation de portefeuille : Modèle Mean – Variance de Markowitz (avec R)

Posted by Daname KOLAN,October 2, 2016

Sur le marché des capitaux, la sélection d’un titre ou actif dans lequel investir n’a jamais été une question simple. C’est au début des années 50, que H. Markowitz avait proposé le critère d’analyse moyenne – variance et dès lors, avait jeté les bases de ce qui sera appelé plus tard la Théorie moderne du portefeuille. En effet, Markowitz part du principe que les rendements générés par un titre ou actif sont des variables aléatoires, ensuite il propose les deux premiers moments à savoir la moyenne et la variance comme les critères de mesure respectifs de l’espérance et du risque perçus par un investisseur rationnel. Mieux encore, l’étude de la corrélation entre les titres, l’amène à développer la stratégie de diversification du portefeuille souvent plus expressive sous l’adage “Ne jamais mettre tous les yeux dans un même panier“. Intuitivement, il s’agit de combiner des titres ou actifs corrélés négativement, ce qui permet de réduire la variance donc le risque du portefeuille(un portefeuille signifie simple une combinaison ou ensemble d’actifs) sans éroder le rendement espéré. Conceptuellement, c’est bien faisable de créer un portefeuille ou de combiner des actifs mais comme l’investisseur est supposé rationnel, ce dernier ne s’intéressera qu’à la combinaison ou portefeuille (j’abandonne ici le terme combinaison laissons ce concept aux micro-économistes et j’adopte pour de bon le terme portefeuille) offrant le meilleure rendement pour un niveau de risque qu’il tolère ou inversement. On dit d’un tel portefeuille qu’il est efficient.

Ainsi, le problème de l’investisseur face à plusieurs titre serait de déterminer la proportion de ses fonds à investir dans chaque titre pour former le portefeuille efficient qui correspond au mieux à ses goûts vis-à-vis du risque. Dans cet article, nous allons apprendre comment avec R résoudre des problème d’optimisation de portefeuille selon le modèle Markowitzien.

Sommaire

1 Définition, formulation et résolution mathématiques
2 Implémentation avec R

Définition, formulation et résolution mathématiques

Considérons un marché de $N$ titres, pour chaque titre ou actif $A_j$ , on dispose de $T$ rendements historiques notés $R_j = [r_{j1}\quad r_{j2}\quad r_{j3}\quad \dots\quad r_{ji}\quad \dots\quad r_{jT}]$ ou de façon générale, pour l’ensemble des titres, on a :

$R=\begin{pmatrix} r_{11}& r_{12}& \cdots & r_{1T} \\ r_{21} &r_{22}& \cdots & r_{2T} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{N1}& r_{N2}& \cdots & r_{NT} \end{pmatrix}=\left( \begin{array}{c} R_{1}\\ R_{2}\\ \vdots \\ R_{N} \end{array} \right)$

où $R$ est la matrice des rendements des $N$ titres collectés sur $T$ période. On peut donc déterminer le vecteur colonne des espérances mathématiques $\mu$ de dimension $Nx1$ et la matrice symétrique de variance $\Sigma$ de dimension $NxN$ comme ceci :

$\mu=E[R]=E\left[ \left( \begin{array}{c} R_{1}\\ R_{2}\\ \vdots \\ R_{N} \end{array} \right) \right]=\left( \begin{array}{c} E[R_{1}] \\ E[R_{2}] \\ \vdots \\ E[R_{N}] \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \mu_{1} \\ \mu_{2}\\ \vdots \\ \mu_{N} \end{array} \right)$

$\begin{split}\Sigma=Var[R] &=\begin{pmatrix} Var[R_{1},R_{1}] & Var[R_{1},R_{2}] & \cdots & Var[R_{1},R_{N}]\\ Var[R_{2},R_{1}] & Var[R_{2},R_{2}] & \cdots & Var[R_{2},R_{N}] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Var[R_{N},R_{1}] & Var[R_{N},R_{2}] & \cdots & Var[R_{N},R_{N}] \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} Var[R_{1},R_{1}] & Cov[R_{1},R_{2}] & \cdots & Cov[R_{1},R_{N}]\\ Cov[R_{2},R_{1}] & Var[R_{2},R_{2}] & \cdots & Cov[R_{2},R_{N}] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Cov[R_{N},R_{1}] & Cov[R_{N},R_{2}] & \cdots & Var[R_{N},R_{N}] \end{pmatrix}\\ \Sigma &=\begin{pmatrix} \sigma^{2}_{1} & \sigma_{1,2} & \cdots & \sigma_{1,N}\\ \sigma_{1,2}& \sigma^{2}_{2} & \cdots & \sigma_{2,N}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{1,N} &\sigma_{2,N} & \cdots & \sigma^{2}_N \end{pmatrix} \end{split}$

où nous avons sur la diagonale les variance de chaque titre. Il faut également noter que notre matrice de covariance ou de variance est symétrique c’est-à-dire que $\Sigma=\Sigma^\top$ . Ainsi, il est possible de construire un portefeuille $P(\omega)$ avec :

$\omega = \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \vdots \\ \omega_N \end{pmatrix}$

qui représente le vecteur des poids de chaque titre ou actif dans le portefeuille dont la somme doit toujours être égale à 1 autrement dit $\omega^\top u=1$ avec :

$u = \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$

On peut exprimer l’espérance $\mu_p$ et la variance $\sigma^{2}_p$ du portefeuille comme ceci :

$\begin{cases}\mu_p= \omega^\top\mu \\ \Sigma_p=\omega^\top\Sigma\omega \end{cases}$

Le décor étant planté, nous allons formaliser 3 types de questions que se pose un investisseur à l’aune de la Théorie de Markowitz.

Ceux pour qui la formulation de la variance du portefeuille ne saute pas directement aux yeux, ils peuvent commencer par raisonner avec un univers composé de 2 titres. En effet, en générale la variance de deux variables aléatoire X et Y pondéré respectivement par les constantes a et b donne :

$\begin{split}Var(aX,bY)&=a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)+2abCov(X,Y) \\ &= \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} Var(X) & Cov(X,Y) \\ Cov(X,Y) & Var(Y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\end{split}$

Par ailleurs, les développements mathématiques qui vont suivre se basent sur cet article de Robert C. Merton, un autre théoricien de la finance moderne.

Le portefeuille de variance minimale(Minimum Variance Portfolio)

La première question que se pose l’investisseur est évidement de savoir : Quel portefeuille efficient,offre le niveau de risque le plus faible ? Il s’agit d’optimiser le programme quadratique suivant :

$\begin{cases}\begin{aligned} \text{Min} & & \sigma^{2}_p(\omega)&=\omega^\top\Sigma\omega \\ \text{sc. de} & & \omega^\top u &=1 \end{aligned} \end{cases}$

Pour résoudre ce programme, nous allons recourir à la méthode du multiplicateur de Lagrange :

$\mathcal{L}(\omega,\lambda) = \omega^\top\Sigma\omega - \lambda(\omega^\top u-1)$

où $\lambda$ est le multiplicateur de Lagrange. Nous allons ensuite calculer les dérivées partielles que nous allons spécifier égales à 0 :

$\begin{cases} \frac{\partial\mathcal{L}}{\omega}= 2\Sigma\omega-\lambda u=0 \quad \text{(a)}\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=\omega^\top u-1=0 \quad\quad\text{(b)}\end{cases}$

Nous allons d’abord tirer $\omega$ dans l’équation $(a)$ , après quoi nous allons le remplacer dans l’équation $(b)$ par son expression:

$\begin{split} \text{(a)} \quad 2\Sigma\omega-\lambda u=0\quad \implies \omega &= \frac{1}{2}\lambda\Sigma^{-1}u \\ \text{(b)} \quad \omega^\top u-1=0 \implies \omega^\top u &= 1 \\ \frac{1}{2}\lambda u^\top\Sigma^{-1}u &=1 \\ \lambda &= \frac{2}{u^\top\Sigma^{-1}u} \end{split}$

Nous allons mettre cette dernière expression de $\lambda$ dans l’expression de $\omega$ . Cela donnera ceci :

(1) $\begin{equation*}\omega=\frac{1}{2} \bigg(\frac{2}{u^{\top}\Sigma^{-1}u} \bigg) \Sigma^{-1}u \implies \omega=\frac{\Sigma^{-1}u}{u^\top\Sigma^{-1}u} \end{equation*}$

Le portefeuille efficient et la frontière efficiente

Comme mentionné dès l’introduction, il est possible pour un investisseur de constituer des portefeuilles selon ses préférences. Toutefois, ces portefeuilles ne sont pas tous efficients. On appelle portefeuille efficient, tout portefeuille qui offre le rendement espéré le plus élevé pour un niveau donné de volatilité ou risque a.k.a variance, ou inversement tout portefeuille qui expose son détenteur au risque le plus faible pour un niveau donné de rendement espéré. La propriété d’efficience étant ainsi définit, nous comprenons qu’il n’existe qu’un et un seul portefeuille efficient $P(\omega\ast)$ pour un niveau de rendement espéré $\mu_0$ . Et l’ensemble des portefeuilles qui satisfont cette propriété forme la frontière efficiente, comme nous pouvons l’observer( la partie de la courbe qui commence à partir du portefeuille de variance minimale, cette dernière est en jaune) sur le graphique suivant :

Notre objectif est de pouvoir déterminer cette frontière efficiente ou du moins exprimer une fonction qui permet de déterminer le portfeuille pour un niveau de rendement cible $\mu_0$ . Ce problème peut se formuler comme ci-dessous :

$\begin{cases}\begin{aligned} \text{Min} & & \sigma^{2}_p(\omega) &=\omega^\top\Sigma\omega \\ \text{sc. de} & & \omega^\top\mu &=\mu_0 \\ & & \omega^\top u &=1 \end{aligned} \end{cases}$

Comme précédemment au vue des caractéristiques de ce programme nous allons recourir encore aux multiplicateurs de Lagrange :

$\mathcal{L}(\omega,\lambda_1,\lambda_2) = \omega^\top\Sigma\omega -\lambda_1(\omega^\top\mu- \mu_0)-\lambda_2(\omega^\top u-1)$

Nous allons annuler les dérivées partielles respectivement de :

$\begin{cases} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\omega}&= 2\Sigma\omega-\lambda_1\mu-\lambda_2 u=0 \quad \text{(a)}\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda_1}&=\omega^\top \mu-\mu_0=0 \quad\quad\quad\quad \text{ (b)} \\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda_2}&=\omega^\top u-1=0 \quad\quad\quad\quad\quad \text{(c)}\end{cases}$

Ici également nous allons d’abord déterminer une expression de $\omega$ en fonction de $\lambda_1$ et $\lambda_2$ , ensuite nous allons l’implémenter dans les équation $(b)$ et $(c)$ comme ceci :

$\begin{split}(a) \quad 2\Sigma\omega-\lambda_1\mu-\lambda_2 u=0 \implies& \omega=\frac{1}{2}\Sigma^{-1}(\lambda_1 \mu+\lambda_2 u) \\ (b) \quad \omega^\top\mu-\mu_0=0 \implies& \frac{1}{2}\lambda_1\mu^\top\Sigma^{-1}\mu+ \frac{1}{2}\lambda_2 u^\top\Sigma^{-1}\mu=\mu_0 \\ (c) \quad \omega^\top u-1=0 \implies& \frac{1}{2}\lambda_1\mu^\top\Sigma^{-1}u+ \frac{1}{2}\lambda_2 u^\top\Sigma^{-1}u=1 \end{split}$

Pour venir à bout de ce système, nous allons d’abord définir $A=u^\top\Sigma^{-1}\mu=\mu^\top\Sigma^{-1}u$ , $B=\mu^\top\Sigma^{-1}\mu$ et $C=u^\top\Sigma^{-1}u$ pour rendre le reste des opérations plus accomodant :

$\begin{cases} A\lambda_1+B\lambda_2=2\mu_0\\ A\lambda_1+C\lambda_2=2\end{cases} \iff \begin{pmatrix} B & A \\ A & C\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix}= 2\begin{pmatrix} \mu_0\\ 1\end{pmatrix}$

Ceci devient une identité de l’algèbre linéaire bien connue $Mx=b\implies x=M^{-1}b$ Pour

$M=\begin{pmatrix} B & A \\ A & C\end{pmatrix},\quad M^{-1}=\begin{pmatrix} B & A \\ A & C\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{BC-A^2}\begin{pmatrix} C& -A \\ -A & B\end{pmatrix}$

selon la méthode des cofacteurs et $b=2\begin{pmatrix} \mu_0\\ 1\end{pmatrix}$ . En désignant $D=BC-A^2$ nous obtenons finalement :

$\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix}= \frac{2}{D} \begin{pmatrix} C& -A \\ -A & B\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mu_0\\ 1\end{pmatrix} =\frac{2}{D} \begin{pmatrix} C\mu_0 - A \\ -A\mu_0+ B\end{pmatrix}$

Ce qui implique que

$\lambda_1=2\frac{-A+C\mu_0}{D}\quad\text{et} \quad \lambda_2=2\frac{B-A\mu_0}{D}$

Nous alors placer ces expressions lambda dans l’expression de $\omega$ . En effet, nous avions précédemment :

$\begin{split}\omega &=\frac{1}{2}\Sigma^{-1}(\lambda_1 \mu+\lambda_2 u) \quad \text{en simplifiant les 2 et en faisant sortir D}\\ &=\frac{1}{2}\Sigma^{-1}\biggl[2\biggl( \frac{-A+C\mu_0}{D}\biggr)\mu+2\biggl(\frac{B-A\mu_0}{D}\biggr) u\biggr] \\ &=\frac{1}{D}\Sigma^{-1}\biggl[(-A+C\mu_0)\mu+(B-A\mu_0)u\biggr] \\ &=\frac{1}{D}\Sigma^{-1}\biggl[(-A\mu+Bu)+(C\mu-Au)\mu_0\biggr] \\ &=\frac{1}{D}\Sigma^{-1}(-A\mu+Bu)+\frac{1}{D}\Sigma^{-1}(C\mu-Au)\mu_0\end{split}$

Nous pouvons finalement conclure que :

(2) $\begin{equation*}\omega=E\mu_0+F\end{equation*}$

avec

$E=\frac{1}{D}\Sigma^{-1}(C\mu-Au)\quad \text{et} \quad F=\frac{1}{D}\Sigma^{-1}(-A\mu+Bu)$

Maintenant nous pouvons exprimer notre fonction de frontière efficiente qui n’est en fait qu’une expression de $\sigma^{2}_p$ en fonction $\mu_0$ :

(3) $\begin{equation*} \sigma^{2}_p(\mu_0)=\omega(\mu_0)^\top\Sigma^{-1}\omega(\mu_0) \end{equation*}$

Ici l’on peut développer encore…

Portefeuille Tangent ou le portefeuille de marché ou super-efficient

Notre dernier portefeuille caractéristique abordé est celui-ci. Pour le comprendre, on raisonne maintenant en tenant compte d’un actif additionnel l’actif sans risque $A_f$ . Théoriquement on peut l’assimiler aux bonds de trésor d’Etats..etc. Quoi qu’il en soit cet actif sans risque procure un rendement $R_f$ (un rendement qui devrait être très faible comparer à l’espérance de rendement d’un titre risqué,pour respecter l’adage populaire “Qui ne risque rien n’a rien !”, ET oui la finance de marché respecte beaucoup les adages ! ) et une variance ou risque nulle c’est-à-dire que $Var(R_f)=0$ , donc ne variant pas sa covariance avec les autres titres est nulle, $Cov(R_f, R_j)=0$ et subséquemment il est “complètement décorrélation” avec les autres titres. Ici également, l’investisseur va se poser la même question que précédemment à savoir : Déterminer pour un niveau de rendement espéré donné $\mu_0$ , quel est le portefeuille qui procure le risque ou la variance minimale ? Rebelote encore un portefeuille efficient à déterminer mais cette fois avec prise en compte de l’actif sans risque !

Supposons que nous appelons $\omega_r$ , la part des actifs risqués et $\omega_f$ , la part de l’actif sans risque dans notre portefeuille, nous devons avoir $\omega_{r}^\top u+\omega_f=1\implies \omega_f=(1-\omega_{r}^\top u)$ . Aussi étant donné que notre actif sans risque a une variance nulle et une corrélation avec les autres actifs risqués nulle, la seule part de risque dans notre nouveau portefeuille $P(\omega_r)$ , ne provient que des actifs risqués. Donc nous aurons à résoudre le problème suivant :

$\begin{cases}\begin{aligned} \text{Min} & & \sigma^{2}_p(\omega_r) =\omega_{r}^\top\Sigma\omega_r \\ \text{sc. de} & & \omega_{r}^\top\mu+(1-\omega_{r}^\top u)R_f&=\mu_0 \end{aligned} \end{cases}$

En arrangeant la contrainte, nous obtenons le Lagrangien du programme comme ceci :

$\mathcal{L}(\omega_r,\lambda) = \omega_{r}^\top\Sigma\omega_{r} -\lambda(\omega_{r}^\top(\mu- R_f u) +R_f -\mu_0)$

Nous allons annuler les dérivées partielles respectivement de :

$\begin{cases} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\omega_r}&= 2\Sigma\omega_r-\lambda(\mu- R_f u)=0 \quad \quad \text{(a)}\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}&=\omega_{r}^\top(\mu- R_f u)+R_f-\mu_0=0 \quad \text{ (b)} \end{cases}$

Nous allons comme d’habitude déterminer une expression de $\omega_r$ en fonction de $\lambda$ de l’équation $(a)$ : $\omega_{r}=-\frac{1}{2}\lambda\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)$ expression que nous allons placer dans l’équation $(b)$ :

$\begin{split} \omega_{r}^\top(\mu-R_f u) &= (\mu_0-R_f) \\-\frac{1}{2}\lambda(\mu-R_f u)^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u) &=(\mu_0-R_f) \\ \lambda&=-2 \frac{(\mu_0-R_f) }{(\mu-R_f u)^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)} \end{split}$

où les différences $(\mu_0-R_f)$ et $(\mu-R_f u)$ sont respectivement les excédents de rendements d’abord du portefeuille et ensuite sur les titres. On va maintenant exprimer $\omega_r$ sans $\lambda$ et après simplification des 2, nous aurons :

(4) $\begin{equation*}\omega_r=(\mu_0-R_f)\Biggl(\frac{\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}{(\mu-R_f u)^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}\Biggr)\end{equation*}$

Notre portfeuille que nous venons d’obtenir $P(\omega_r)$ appartient en effet, à une vaste famille de portefeuilles se trouvant sur la drote en vert, la droite de marché des capitaux ou Capital Market Line (CML) dont l’expression la plus finie connue grâce aux travaux de W.Sharpe et al.(nous allons pas le démontrer) est :

(5) $\begin{equation*} \mu_p= R_f+\sigma_p \biggl[ \frac{\mu_{Market}-R_f}{\sigma_{Market}}\biggr]\end{equation*}$

Nous savons comment obtenir un portefeuille se situant sur la frontière efficiente (la courbe rouge) et nous savons également comment obtenir un portefeuille se situant sur la droite de marché(la droite verte). Ce qui nous intéresse maintenant, c’est de déterminer le portefeuille tangent celui en bleue. C’est lui qui offre le meilleur excédent de rendement (ou prime ou rémunération) par unité de risque, le meilleur ratio de Sharpe : $\frac{\mu_p-R_f}{\sigma_p}$ . C’est l’une des raisons pour laquelle on l’appelle portefeuille super-efficient(parmi les efficients, il est le plus efficient !)

Pour obtenir un tel portefeuille, nous avons la possibilité d’égaliser les dérivés de la droite et de la courbe et ensuite de déterminer $\omega$ qui vérifie cette équation. Mais d’abord cela nous demanderait d’exprimer la frontière efficiente en fonction de $\omega$ et la droite de marché également. Nous trouvons cela un peu fastidieux. Alors nous pouvons adopter un autre raisonnement, si la droite et la courbe se confondent en ce point c’est qu’en ce point, ils doivent avoir la même composition en titres. Autrement dit le portefeuille en ce point généré grâce à la fonction de la frontière efficiente(en l’absence de l’actif sans risque) est égale au portefeuille en ce point généré grâce à la fonction de la droite de marché( en présence de l’actif sans risque). Cette observation nous conduit à conclure qu’en ce point $\omega_f=0$ et donc que se portefeuille n’est constitué entièrement que d’actif risqué c’est-à-dire $\omega_{r}^\top u=1$ et en se fiant à notre raisonnement, on peut également écrire qu’en ce point $\omega_{r}=\omega_{s}$ avec $\omega_{s}$ la composition du portefeuille super-efficient . Formellement en ce point :

$\begin{split}\omega_{s}=\omega_{r}&=(\mu_0-R_f)\frac{\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}{(\mu-R_f u)^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}\\ \omega_{s}^\top u=\omega_{r}^\top u=u^\top\omega_{s}&=(\mu_0-R_f)\frac{u^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}{(\mu-R_f u)^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}=1\\ (\mu_0-R_f)&=\frac{(\mu-R_f u)^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}{u^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)} \end{split}$

Cette nouvelle expression de l’excédent du rendement du portefeuille va être implémenter dans l’expression de $\omega_{s}$ :

$\begin{split}\omega_{s}&=(\mu_0-R_f)\frac{\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}{(\mu-R_f u)^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}\\&=\Biggl(\frac{(\mu-R_f u)^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}{u^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}\Biggr)\frac{\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}{(\mu-R_f u)^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)} \end{split}$

Après simplification, on peut conclure que le portefeuille Tangent $P(\omega_{s})$ , se compose de :

(6) $\begin{equation*} \omega_{s}=\frac{\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}{u^\top\Sigma^{-1}(\mu-R_f u)}\end{equation*}$

Ici, nous voyons finalement que la constitution du portefeuille Tangent, ne dépend pas de $\mu_0$ , donc des préférences de l’investisseur. Cette observation nous entraîne vers les bases de la formalisation du MEDAF. Aussi nous nous arrêtons là, passons à la détermination de ces portefeuilles avec R !

Implémentation avec R

Nous allons pour implémenter ces portefeuilles, d’abord télécharger une séries 20 titres, aux hasards. Vous avez le choix du nombre et des titres mais nous n’aurons pas les mêmes réponses.

Installation de package et importation des données

Nous charger et utiliser les packages cité ci-dessous, s’ils ne sont pas encore télécharger sur votre ordinateur, utiliser la fonction install.packages(‘nom_du_package’) :

library(stockPortfolio) # pour télécharger les données ou bien plus
library(ggplot2) # pour réaliser les graphiques
library(scales) # pour formater les axes graphiques en % et...
library(ggrepel) # complément pour la realisation graphique
library(extrafont);loadfonts() # optionnel pour utilisation de police

library(stockPortfolio) # pour télécharger les données ou bien plus

library(ggplot2) # pour réaliser les graphiques

library(scales) # pour formater les axes graphiques en % et...

library(ggrepel) # complément pour la realisation graphique

library(extrafont);loadfonts() # optionnel pour utilisation de police

La fonction getReturns() qui prend en arguments la liste des symboles des titres qui nous intéressent, va d’abord télécharger les cours selon la périodicité spécifiée à l’argument freq et ensuite calculer les rendements :

assetSymbols <- c('YHO','MSFT','GOOGL','AAPL','NKE','SPGI','AMZN','MMM','BAC','BAX',
                 'IBM', 'MTB', 'ORCL', 'FDX','AA','DIS','VAR','CAT','USB','JPM')
assetReturns <- getReturns(assetSymbols,freq='month',start = '2012-01-01', end = '2016-08-31')
mu <- colMeans(assetReturns$R) # rendements espérés
covMat <- cov(assetReturns$R) # matrices de covariances

assetSymbols <- c('YHO','MSFT','GOOGL','AAPL','NKE','SPGI','AMZN','MMM','BAC','BAX',

'IBM', 'MTB', 'ORCL', 'FDX','AA','DIS','VAR','CAT','USB','JPM')

assetReturns <- getReturns(assetSymbols,freq='month',start = '2012-01-01', end = '2016-08-31')

mu <- colMeans(assetReturns$R) # rendements espérés

covMat <- cov(assetReturns$R) # matrices de covariances

Usinage des fonctions pour la détermination des portefeuilles

Les fonctions que nous allons construire, découlent directement des formules que nous avons démontré, précédemment dans la première partie et n’exige de ce fait aucun package, que du taï-jutsu, un corps à corps , du calcul matriciel. Nos fonctions ont le même model d’informations renvoyées,en fait, elles renvoient toutes les valeurs des poids de chaque titre dans le(s) portefeuille(s), le(s) rendement(s) espéré(s) et les risque(s) de(s) portefeuille(s) sous format list(). Par ailleurs, nous avons pour les fonctions ayant besoins du taux d’intérêt sans risque pris par défaut un taux annuel de 5% l’an soit un taux mensuel de 0.5% approximativement, bien sûr à vous pour le changer.

Portefeuille de variance minimale

## Minimum Variance Portfolio function ####
getMinVariancePortfolio <- function(mu,covMat,assetSymbols) {
   U <- rep(1, length(mu)) # vecteur de 1
   O <- solve(covMat)     # inverse de la matrice de covariance
   w <- O%*%U /as.numeric(t(U)%*%O%*% U)
   Risk <- sqrt(t(w) %*% covMat %*% w)
   ExpReturn <- t(w) %*% mu
   Weights <- `names<-`(round(w, 5), assetSymbols)
   list(Weights = t(Weights),
                ExpReturn = round(as.numeric(ExpReturn), 5),
                Risk = round(as.numeric(Risk), 5))
}

## Minimum Variance Portfolio function ####

getMinVariancePortfolio <- function(mu,covMat,assetSymbols) {

U <- rep(1, length(mu)) # vecteur de 1

O <- solve(covMat) # inverse de la matrice de covariance

w <- O%*%U /as.numeric(t(U)%*%O%*% U)

Risk <- sqrt(t(w) %*% covMat %*% w)

ExpReturn <- t(w) %*% mu

Weights <- `names<-`(round(w, 5), assetSymbols)

list(Weights = t(Weights),

ExpReturn = round(as.numeric(ExpReturn), 5),

Risk = round(as.numeric(Risk), 5))

}

Portefeuille efficient pour un niveau de rendement donné

getEfficientPortfolio <- function(mu, covMat, assetSymbols, mu0) {
   U <- rep(1, length(mu))
   O <- solve(covMat) # inverse de la matrice
   A <- as.numeric(t(U) %*% O %*% mu) 
   B <- as.numeric(t(mu) %*% O %*% mu)
   C <- as.numeric(t(U) %*% O %*% U)
   D <- B * C - A * A
   E <- O %*% ( - A * U + C * mu) / D
   F <- O %*% (B * U - A * mu) / D
   w <- E * mu0 + F
   Risk <- sqrt(t(w) %*% covMat %*% w) # calcul de l'ecart-type
   ExpReturn <- t(w) %*% mu
   Weights <- `names<-`(round(w,5), assetSymbols)
   list(Weights = t(Weights),
             ExpReturn = as.numeric(round(ExpReturn,5)),
             Risk = as.numeric(round(Risk,5)))
}

getEfficientPortfolio <- function(mu, covMat, assetSymbols, mu0) {

U <- rep(1, length(mu))

O <- solve(covMat) # inverse de la matrice

A <- as.numeric(t(U) %*% O %*% mu)

B <- as.numeric(t(mu) %*% O %*% mu)

C <- as.numeric(t(U) %*% O %*% U)

D <- B * C - A * A

E <- O %*% ( - A * U + C * mu) / D

F <- O %*% (B * U - A * mu) / D

w <- E * mu0 + F

Risk <- sqrt(t(w) %*% covMat %*% w) # calcul de l'ecart-type

ExpReturn <- t(w) %*% mu

Weights <- `names<-`(round(w,5), assetSymbols)

list(Weights = t(Weights),

ExpReturn = as.numeric(round(ExpReturn,5)),

Risk = as.numeric(round(Risk,5)))

}

Portefeuille Tangent ou super- efficient

getTangentPortfolio <- function(mu,covMat,assetSymbols,Rf = 0.005){
     U <- rep(1, length(mu))
   muE <- (mu - Rf * U) # excedent de rendement
     O <- solve(covMat) # inverse de la matrice
   w <- (O %*% muE)/ as.numeric(t(U)%*%O%*%muE)
   Risk <- sqrt(t(w) %*% covMat %*% w)
   ExpReturn <- t(w) %*% mu
   Weights <- `names<-`(round(w,5), assetSymbols)
   list(Weights = t(Weights),
        ExpReturn = as.numeric(ExpReturn),
        Risk = as.numeric(Risk))
}

getTangentPortfolio <- function(mu,covMat,assetSymbols,Rf = 0.005){

U <- rep(1, length(mu))

muE <- (mu - Rf * U) # excedent de rendement

O <- solve(covMat) # inverse de la matrice

w <- (O %*% muE)/ as.numeric(t(U)%*%O%*%muE)

Risk <- sqrt(t(w) %*% covMat %*% w)

ExpReturn <- t(w) %*% mu

Weights <- `names<-`(round(w,5), assetSymbols)

list(Weights = t(Weights),

ExpReturn = as.numeric(ExpReturn),

Risk = as.numeric(Risk))

}

Fonctions graphiques : Frontière Efficiente et la droite de marché

# Frontière efficiente
getEfficientFrontier <- function(mu, covMat, assetSymbols, Nb = 20){
   mu0 <- seq(getMinVariancePortfolio(mu, covMat, asset.names)$ExpReturn, 0.08, length.out = Nb)
   ExpReturn <- NULL
   Risk <- NULL
   Weights <- data.frame()
   for (i in 1:Nb) {
      list <- getEfficientPortfolio(mu, covMat, asset.names, mu0[i])
      ExpReturn <- c(ExpReturn, list$ExpReturn)
      Risk <- c(Risk, list$Risk)
      Weights <- rbind(Weights, list$Weights)
   }
   list(Weights= data.frame(Weights),
               ExpReturn = as.vector(ExpReturn),
               Risk = as.vector(Risk))
   }
# Droite du marché des capitaux
getCML <- function(mu, covMat, assetSymbols, Rf = 0.005) {
mu0 <- seq(Rf,0.08,length.out = 20)
U <- rep(1, length(mu))
muE <- (mu - Rf * U) # excedent de rendement
mu0E <- (mu0 - Rf) # excedent sur le rendement du portefeuille
O <- solve(covMat) # inverse de la matrice
ExpReturn <- NULL
Risk <- NULL
Weights <- data.frame()
 w_r <- sapply(mu0E, function(x, muE, O) {
    x * ((O %*% muE) / as.numeric(t(muE) %*% O %*% muE))
 }, O = O, muE = muE)
 w_f = 1 - colSums(w_r)
 w_r <- `rownames<-`(round(w_r, 5), assetSymbols)
 Weights = cbind(t(w_r),Rf=w_f)
 ExpReturn = t(w_r) %*% mu + w_f * Rf
 Risk = sqrt(diag(t(w_r) %*% covMat %*% w_r))
 list(Weights = data.frame(Weights), ExpReturn = as.vector(ExpReturn), Risk = Risk)
}

# Frontière efficiente

getEfficientFrontier <- function(mu, covMat, assetSymbols, Nb = 20){

mu0 <- seq(getMinVariancePortfolio(mu, covMat, asset.names)$ExpReturn, 0.08, length.out = Nb)

ExpReturn <- NULL

Risk <- NULL

Weights <- data.frame()

for (i in 1:Nb) {

list <- getEfficientPortfolio(mu, covMat, asset.names, mu0[i])

ExpReturn <- c(ExpReturn, list$ExpReturn)

Risk <- c(Risk, list$Risk)

Weights <- rbind(Weights, list$Weights)

}

list(Weights= data.frame(Weights),

ExpReturn = as.vector(ExpReturn),

Risk = as.vector(Risk))

}

# Droite du marché des capitaux

getCML <- function(mu, covMat, assetSymbols, Rf = 0.005) {

mu0 <- seq(Rf,0.08,length.out = 20)

U <- rep(1, length(mu))

muE <- (mu - Rf * U) # excedent de rendement

mu0E <- (mu0 - Rf) # excedent sur le rendement du portefeuille

O <- solve(covMat) # inverse de la matrice

ExpReturn <- NULL

Risk <- NULL

Weights <- data.frame()

w_r <- sapply(mu0E, function(x, muE, O) {

x * ((O %*% muE) / as.numeric(t(muE) %*% O %*% muE))

}, O = O, muE = muE)

w_f = 1 - colSums(w_r)

w_r <- `rownames<-`(round(w_r, 5), assetSymbols)

Weights = cbind(t(w_r),Rf=w_f)

ExpReturn = t(w_r) %*% mu + w_f * Rf

Risk = sqrt(diag(t(w_r) %*% covMat %*% w_r))

list(Weights = data.frame(Weights), ExpReturn = as.vector(ExpReturn), Risk = Risk)

}

Détermination des portefeuilles et visualisation graphique

> # minimum variance portfolio
> (MVP <- getMinVariancePortfolio(mu, covMat, assetSymbols))
$Weights
          YHO    MSFT    GOOGL     AAPL     NKE     SPGI     AMZN     MMM
[1,] -0.11087 0.14348 -0.02193 -0.04156 0.21401 -0.09068 -0.03054 0.25304
         BAC     BAX     IBM     MTB    ORCL     FDX      AA      DIS     VAR
[1,] -0.0178 0.14972 0.15025 0.15848 0.02765 -0.0437 0.04665 -0.03562 0.23541
          CAT     USB      JPM
[1,] -0.06276 0.32113 -0.24435

$ExpReturn
[1] 0.00744

$Risk
[1] 0.02059

> # Efficient portfolio with 5% of expected return
> (m0P <- getEfficientPortfolio(mu, covMat, assetSymbols, mu0 = 0.05))
$Weights
         YHO    MSFT   GOOGL     AAPL      NKE    SPGI    AMZN     MMM     BAC
[1,] 0.03912 0.59996 0.15981 -0.12395 -0.00917 0.43485 0.20777 1.53702 0.26818
         BAX      IBM    MTB     ORCL      FDX      AA     DIS      VAR
[1,] 0.40375 -0.69225 0.7805 -0.36902 -0.16343 0.23225 0.05982 -0.38102
          CAT      USB      JPM
[1,] -0.71569 -1.03577 -0.23273

$ExpReturn
[1] 0.05

$Risk
[1] 0.0721

> # Efficient frontier
> EFF <- getEfficientFrontier(mu, covMat, assetSymbols)
> # Capital Market line
> CML <- getCML(mu, CovMat, assetSymbols)
> # Tangent portfolio
> (GTP <- getTangentPortfolio(mu, covMat, assetSymbols))
$Weights
         YHO    MSFT   GOOGL     AAPL      NKE    SPGI    AMZN  MMM     BAC
[1,] 0.12124 0.84989 0.25931 -0.16905 -0.13136 0.72257 0.33824 2.24 0.42475
         BAX      IBM     MTB    ORCL      FDX      AA     DIS      VAR
[1,] 0.54284 -1.15352 1.12105 -0.5862 -0.22897 0.33387 0.11207 -0.71851
          CAT      USB      JPM
[1,] -1.07316 -1.77869 -0.22636

$ExpReturn
[1] 0.07330112

$Risk
[1] 0.1088978

> # minimum variance portfolio

> (MVP <- getMinVariancePortfolio(mu, covMat, assetSymbols))

$Weights

YHO MSFT GOOGL AAPL NKE SPGI AMZN MMM

[1,] -0.11087 0.14348 -0.02193 -0.04156 0.21401 -0.09068 -0.03054 0.25304

BAC BAX IBM MTB ORCL FDX AA DIS VAR

[1,] -0.0178 0.14972 0.15025 0.15848 0.02765 -0.0437 0.04665 -0.03562 0.23541

CAT USB JPM

[1,] -0.06276 0.32113 -0.24435

$ExpReturn

[1] 0.00744

$Risk

[1] 0.02059

> # Efficient portfolio with 5% of expected return

> (m0P <- getEfficientPortfolio(mu, covMat, assetSymbols, mu0 = 0.05))

$Weights

YHO MSFT GOOGL AAPL NKE SPGI AMZN MMM BAC

[1,] 0.03912 0.59996 0.15981 -0.12395 -0.00917 0.43485 0.20777 1.53702 0.26818

BAX IBM MTB ORCL FDX AA DIS VAR

[1,] 0.40375 -0.69225 0.7805 -0.36902 -0.16343 0.23225 0.05982 -0.38102

CAT USB JPM

[1,] -0.71569 -1.03577 -0.23273

$ExpReturn

[1] 0.05

$Risk

[1] 0.0721

> # Efficient frontier

> EFF <- getEfficientFrontier(mu, covMat, assetSymbols)

> # Capital Market line

> CML <- getCML(mu, CovMat, assetSymbols)

> # Tangent portfolio

> (GTP <- getTangentPortfolio(mu, covMat, assetSymbols))

$Weights

YHO MSFT GOOGL AAPL NKE SPGI AMZN MMM BAC

[1,] 0.12124 0.84989 0.25931 -0.16905 -0.13136 0.72257 0.33824 2.24 0.42475

BAX IBM MTB ORCL FDX AA DIS VAR

[1,] 0.54284 -1.15352 1.12105 -0.5862 -0.22897 0.33387 0.11207 -0.71851

CAT USB JPM

[1,] -1.07316 -1.77869 -0.22636

$ExpReturn

[1] 0.07330112

$Risk

[1] 0.1088978

Nous allons visualiser le tout comme ceci :

data = data.frame(ExpReturn = mu * 100,Risk = sqrt(diag(covMat)) * 100)
plot <- ggplot(data, aes(x = Risk, y = ExpReturn)) +
        theme_bw() +
        theme(plot.title = element_text(family = "Century Gothic",
           colour = "red3", face = "bold"),
         text = element_text(family = "Century Gothic"),
         plot.background = element_rect(fill = "gray"),
         axis.line.x = element_line(color = "black", size = 1),
         axis.line.y = element_line(color = "black", size = 1)) +
         geom_point(colour = rainbow(20, start = 0.7, end = 0.1),size = 2) +
         geom_text_repel(label = assetSymbols,size = 2.5) +
         geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed") +
         geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +
scale_x_continuous(breaks = seq(0, 12, 1) ,
   limits = c(0,12),
   labels = dollar_format(suffix = "%", prefix = "")) +
scale_y_continuous(breaks = seq(-1,9, 1) ,
   limits = c(-1,9),
   labels = dollar_format(suffix = "%", prefix = "")) +
labs(x = "Monthly Risk", y ="Monthly Expected Return") +
ggtitle("Mean-Variance FrameWork Portfolios")
# Ajout de la fontière efficiente
plot <- plot + geom_line(data = data.frame(Risk = EFF$Risk * 100, ExpReturn = EFF$ExpReturn * 100), 
               aes(x = Risk, y = ExpReturn), colour = "red3", size = 1.2)
# Ajout de  la droite de marche
plot <- plot + geom_line(data = data.frame(Risk = CML$Risk * 100, ExpReturn = CML$ExpReturn * 100), 
               aes(x = Risk, y = ExpReturn), colour = "darkblue", size = 1)
# Ajout de tous les portfeuilles
allPortfolio <- data.frame(ExpReturn = c(0.005, MVP$ExpReturn, m0P$ExpReturn,GTP$ExpReturn) * 100,
                  Risk = c(0, MVP$Risk, m0P$Risk, GTP$Risk) * 100)
plot <- plot + geom_point(data = allPortfolio, shape = "O",
                colour = "red3", size = 4) +
geom_text_repel(data = data.frame(allPortfolio,
   label = c("Rf", "MinVariance", "Port0.05", "PortTangent")),
    aes(x = Risk, y = ExpReturn, label = label), size = 3)
plot

data = data.frame(ExpReturn = mu * 100,Risk = sqrt(diag(covMat)) * 100)

plot <- ggplot(data, aes(x = Risk, y = ExpReturn)) +

theme_bw() +

theme(plot.title = element_text(family = "Century Gothic",

colour = "red3", face = "bold"),

text = element_text(family = "Century Gothic"),

plot.background = element_rect(fill = "gray"),

axis.line.x = element_line(color = "black", size = 1),

axis.line.y = element_line(color = "black", size = 1)) +

geom_point(colour = rainbow(20, start = 0.7, end = 0.1),size = 2) +

geom_text_repel(label = assetSymbols,size = 2.5) +

geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dashed") +

geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed") +

scale_x_continuous(breaks = seq(0, 12, 1) ,

limits = c(0,12),

labels = dollar_format(suffix = "%", prefix = "")) +

scale_y_continuous(breaks = seq(-1,9, 1) ,

limits = c(-1,9),

labels = dollar_format(suffix = "%", prefix = "")) +

labs(x = "Monthly Risk", y ="Monthly Expected Return") +

ggtitle("Mean-Variance FrameWork Portfolios")

# Ajout de la fontière efficiente

plot <- plot + geom_line(data = data.frame(Risk = EFF$Risk * 100, ExpReturn = EFF$ExpReturn * 100),

aes(x = Risk, y = ExpReturn), colour = "red3", size = 1.2)

# Ajout de la droite de marche

plot <- plot + geom_line(data = data.frame(Risk = CML$Risk * 100, ExpReturn = CML$ExpReturn * 100),

aes(x = Risk, y = ExpReturn), colour = "darkblue", size = 1)

# Ajout de tous les portfeuilles

allPortfolio <- data.frame(ExpReturn = c(0.005, MVP$ExpReturn, m0P$ExpReturn,GTP$ExpReturn) * 100,

Risk = c(0, MVP$Risk, m0P$Risk, GTP$Risk) * 100)

plot <- plot + geom_point(data = allPortfolio, shape = "O",

colour = "red3", size = 4) +

geom_text_repel(data = data.frame(allPortfolio,

label = c("Rf", "MinVariance", "Port0.05", "PortTangent")),

aes(x = Risk, y = ExpReturn, label = label), size = 3)

plot

Finalement on obtient :

Nous avons supposé que les ventes à découvert de titre ou short selling étaient permises. Si vous êtes intéressés par une optimisation sans les proportions négatives( ce qui signifie l’absence de ventes à découvert), il existe une multitude d’outils R pour venir à bout d’un tel problème. Par ailleurs, R offre également des packages avec des fonctions d’optimisation pré-faites. Ainsi, ce que nous venons de voir était purement à titre instructif (Vous avez eu droit à quelques bribes techniques sur la façon dont Markowitz à mériter son Prix Nobel ) l’objectif étant de vous familiariser avec la programmation R et à quelques notions de la finance quantitative, car sachez que vous pouvez faire ce même boulot en max dix lignes de code ! N’hésitez pas à nous contacter aux besoins pour des modèles d’optimisation de portefeuilles plus robustes !

Analyse quantitative, Finance, Finance quantitative, R

| Tags: Harry Markowitz, Mean-Variance Portfolio, Modèle Espérance-Variance, Optimisation de portefeuille avec R, Programmation objet avec R

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