Devoir semaine 6

à rendre pour le 21 mars 2022, 15h00

Exercice : polynômes de Tchebychev

Les polynômes de Tchebychev $(T_n(X))_{n \in \mathbb{N}}$ forment une suite de polynômes, définie par la relation de récurrence suivante :

$$ T_0(X) = 1, \quad T_1(X) = X, \quad \quad T_n(X) = 2 X T_{n-1}(X) - T_{n-2}(X), \quad \forall n \ge 2\,. $$

Au vu de la relation de récurrence qui les définit, on remarque que les polynômes de Tchebychev sont à coefficients dans $\mathbb{Z}$.

Question 1 :

  • Définir l'anneau de polynômes R à coefficients dans $\mathbb{Z}$.
  • Définir également X la variable de cet anneau de polynômes.

Ces variables seront définies pour l'ensemble de l'exercice.

In [ ]:

Question 2 : Écrire une fonction Tchebychev(n) qui calcule $T_n(X)$ pour un entier n donné en entrée. On écrira une fonction itérative.

In [ ]:

Question 3 :

  • Calculez les $20$ premiers polynômes de Tchebychev et les stocker dans une liste.
  • Formulez (en commentaire dans la cellule) une hypothèse sur le degré de $T_n(X)$ (en fonction de $n$).
  • Vérifiez cette hypothèse sur les $200$ premiers polynômes de Tchebychev. Pour cela, vous n'afficherez pas tous les polynômes, mais vous testerez (par exemple avec le mot-clef all ou avec une boucle for) que les degrés des polynômes construits concordent avec votre hypothèse.
In [ ]:

Question 4 : Les polynômes de Tchebychev vérifient également la relation : $$ (1-X^2) \cdot T_n''(X) \; - \; X \cdot T_n'(X) \; + \; n^2 \cdot T_n(X) = 0 $$

Vérifiez cette formule sur les $200$ premiers polynômes de Tchebychev. Pour la méthode de vérification, suivez la même remarque que celle de la question précédente.

In [ ]:

La fonction .trig_reduce() est une fonction de Sagemath, qui s'applique sur une expression triginométrique, et qui essaie de la "réduire". Par exemple :

In [13]:
x = var('x')
A = sin(x)**2 + cos(x)**2
print(A)
print(A.trig_reduce())

cos(x)^2 + sin(x)^2
1

Question 5 : En utilisant .trig_reduce(), vérifiez sur les $20$ premières valeurs de $n$ que $$ T_n(cos(x)) = cos(nx) $$

In [ ]:

Question 6 : Vérifier sur les $100$ premières valeurs strictement positives de $n$ que : $$ T_n(X) = \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!} (2X)^{n - 2k} $$

In [ ]:

Question 7 (plus difficile) :

  • Calculez les pgcd (dans $\mathbb{Z}[X]$) des polynômes $T_n(X)$ et $T_m(X)$ pour différentes valeurs de $n$ et $m$.
  • Puis, essayez d'y reconnaître des polynômes connus, et émettre une hypothèse sur la valeur de $\mathrm{pgcd}(T_n(X), T_m(X))$ dans le cas général (on donnera cette hypothèse en commentaire).
  • Enfin, écrire une fonction qui valide votre hypothèse pour toutes les valeurs de $n$ et $m$ entre $1$ et $40$.

Indication : il faut expérimenter, et reconnaître les cas pour lesquels le pgcd vaut 1. Pour les autres cas, on s'intéressera au plus grand entier $v$ tel que $2^v$ divise $n$...

In [ ]:
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