Question 1 : Écrire une fonction matrice_aleatoire(n) qui retourne une matrice $M$ de taille $(n \times n)$ dont toutes les entrées sont des entiers aléatoires entre $-2$ et $2$.
Question 2 : Écrire une fonction puissances_iterees(M) qui retourne la liste des $n+1$ matrices suivantes :
$$
I, M, M^2, M^3, \dots, M^n
$$
où $I$ est la matrice identité de taille $n$. La fonction ne devra prendre que la matrice M comme argument.
On cherche à déterminer $n+1$ coefficients $a_0$, $a_1$,... $a_n$ tels que $$ a_0 M^0 + a_1 M^1 + ... + a_n M^n = 0 $$ Pour cela, on observe que chaque entrée des matrices fournit une équation linéaire sur les inconnues $a_0, \dots, a_n$. Pour l'entrée $(i, j)$, cette équation est précisément : $$ a_0 M^0_{i,j} + a_1 M^1_{i, j} + \dots + a_n M^n_{i, j} = 0 $$ où $M^k_{i,j}$ représente le coefficient d'indices $(i,j)$ de la matrice $M^k$.
Au final, on peut donc écrire un système linéaire de $n^2$ équations à $n+1$ inconnues pour retrouver $a_0, \dots, a_n$.
Question 3 (plus difficile) : Écrire une fonction annulateurs(M) qui retourne l'espace vectoriel des solutions $(a_0, a_1, \dots, a_n)$ au système linéaire décrit ci-dessus.
Question 4 : Soit $P(X) = p_0 + p_1 X + \dots + p_n X^n$ le polynôme caractéristique d'une matrice $M$ carrée de taille $n$. Vérifier que le vecteur $(p_0, ..., p_n)$ satisfait $$ p_0 M^0 + p_1 M^1 + ... + p_n M^n = 0\,. $$ On pourra, par exemple, utiliser la question précédente.
Remarque : tout polynôme $U(X) = u_0 + u_1 X + \dots + u_n X^n$ tel que $$ u_0 M^0 + u_1 M^1 + ... + u_n M^n = 0 $$ est appelé polynôme annulateur de la matrice $M$. Le théorème de Cayley-Hamilton assure que le polynôme caractéristique d'une matrice est également un polynôme annulateur de la matrice.
Soient $u, v, w$ les trois vecteurs suivants : $$ u = \begin{pmatrix} -104 \\ 242 \\ -17 \\ 330 \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} 322 \\ -744 \\ 90 \\ -1119 \end{pmatrix}, \quad w = \begin{pmatrix} -19 \\ 43 \\ -9 \\ 76 \end{pmatrix} $$
Question 1 : Les trois vecteurs $u$, $v$ et $w$ forment-ils une famille libre dans $\mathbb{R}^4$ ?
Question 2 : Compléter $(u, v, w)$ avec un vecteur $z \in \mathbb{Q}^4$ pour former une base de $\mathbb{Q}^4$, de sorte que la matrice $M$ formée des $4$ vecteurs $(u, v, w, z)$ soit de déterminant égal à $1$.