Devoir semaine 9

À rendre avant le 11/04/2022, 15h00

Exercice 1 : méthode des trapèzes

Un trapèze rectangle a la forme suivante : image.png

Il est formé de deux côtés parallèles et de deux angles droits.

Question 1 : Écrire une fonction aire_trapeze(base, cote1, cote2) qui calcule l'aire d'un trapèze dont la base (le côté ayant deux angles droits) a longueur base et dont les deux côtés parallèles ont longueur cote1 et cote2.

In [ ]:

La méthode des trapèzes permet de calculer une valeur approchée d'une intégrale. Supposons que l'on souhaite calculer $$ I = \int_a^b f(t) dt $$ L'idée est la suivante :

  • on fixe un paramètre entier $n \ge 1$, destiné à devenir grand,
  • on découpe l'intervalle $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles réguliers $[t_i, t_{i+1}]$, autrement dit $t_0 = a$ et $t_{i+1} = t_i + (b-a)/n$
  • on calcule l'aire $A_i$ du trapèze dont les $4$ sommets ont pour coordonnées dans le plan : $$ (t_i, 0), \quad (t_{i+1}, 0), \quad (t_{i+1}, f(t_{i+1})), \quad (t_i, f(t_i)) $$
  • la valeur approchée de l'intégrale est alors la somme des aires des trapèze : $$ S_n = \sum_{i=0}^{n-1} A_i $$ On estime alors que $S_n \to I$ lorsque $n \to \infty$.

image.png

Question 2 : Écrire une fonction integrale_approchee(f, a, b, n) qui exécute la méthode des trapèzes et retourne la valeur approchée $S_n$.

In [ ]:

On note $E(n) = |I - S_n|$ l'erreur d'approximation de la méthode des trapèzes.

Question 3 : Tracer la courbe de $E(n)$ en fonction de $n$, pour la fonction $f = \sin(x)$ dans l'intervalle $[a, b] = [0, \pi]$.

In [ ]:

Question 4 : Écrire une fonction integrale_approchee_symbolique(f, a, b) qui retourne une expression symbolique représentant $S_n$. On rappelle que pour déclarer une variable $n$ destinée à être entière et strictement positive, il faut ajouter les commandes :

assume(n>0)
assume(n, 'integer')

après la déclaration de la variable.

In [ ]:

Question 5 : À l'aide de la fonction taylor, donner un équivalent asymptotique en fonction de $n$ de la vitesse de convergence de la méthode des trapèzes, pour la fonction $f(x) = \sin(x)$ dans l'intervalle $[0, \pi]$.

Indication : en tapant taylor?, on cherchera comment utiliser cette fonction.

In [ ]:

Exercice 2 : dévoppement de Taylor

Question 1 : Écrire une fonction developpement_taylor(f, a, n) qui calcule le développement de Taylor (ou développement limité) d'une fonction $f$, autour du point $a$ et à l'ordre $n$.

In [ ]:

Question 2 : Sur l'exemple de la fonction $f(x) = \sin(x)$, autour de $a=0$ et à l'ordre $10$, comparer le résultat de votre developpement_taylor(f, a, n) avec celui de la fonction taylor de sagemath.

Indication : en tapant taylor?, on cherchera comment utiliser cette fonction.

In [ ]:

Question 3 : Sur l'exemple de la fonction $f(x) = \sin(x)$ autour de $x=0$, afficher le graphe de la fonction et de ses développements aux ordres $2$, $4$, $6$ et $8$ (de différentes couleurs). Les graphes seront affichés avec $[x_{\rm min}, x_{\rm max}] = [-\pi, \pi]$ et avec $[y_{\rm min}, y_{\rm max}] = [-2, 2]$.

In [ ]: