TP5 : premières utilisations de Sagemath

Exercice 1 : nombre premier suivant

Question 1 : En utilisant la fonction is_prime(), écrire une fonction prochain_nombre_premier(n) qui calcule le plus petit nombre premier strictement supérieur à n.

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Question 2 : Vérifier la validité de la fonction prochain_nombre_premier en la comparant avec next_prime(n)

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Exercice 2 : tracer des fonctions

Question 1 : Tracer sur un même graphique les fonctions cosinus (en bleu) et sinus (en rouge), entre $0$ et $4\pi$.

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Question 2 :

  • Tracer la fonction tangente entre $-\pi$ et $\pi$.
  • Puis, essayer de rendre le tracé plus "représentatif" en imposant une valeur maximale et minimale à l'ordonnée.
  • Pourquoi pensez-vosu qu'il y a des droites verticales ? Les retirer en ajoutant l'argument detect_poles=True dans la fonction plot().
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La fonction mathématique $\Gamma$ ("gamma") est un prolongement de la factorielle sur les nombres complexes. Elle est définie formellement comme : $$ \Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1} z^{-t} dt $$ Elle est représentée par gamma dans SageMath.

Question 3 : Tracer $\Gamma$ pour des nombres réels entre $0.1$ et $5$.

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Question 4 : Vérifier que $\Gamma(n) = (n-1)!$ pour tout $n \in [1, 100]$.

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Question 5 (plus difficile) : Tracer $|\Gamma(z)|$ pour des nombres complexes $z$ de partie imaginaires et réelles comprises entre $-4$ et $4$. On utilisera la fonction plot3d.

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La fonction mathématique $\zeta$ ("zeta") est définie sur réels $>1$ comme : $$ \zeta(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x} $$ Elle est implantée dans SageMath avec le nom zeta.

Question 6 : Calculer $\zeta(2)$ et $\zeta(4)$.

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Question 7 : Tracer la fonction $\zeta$ entre $1.1$ et $10$.

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Question 8 : Estimer la limite de $\zeta(x)$ lorsque $x \to +\infty$.

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Exercice 3 : transformations complexes

Question 1 : Étant donnée une liste de nombres complexes L, tracer le polygone reliant les points du plan associés à ces nombres complexes. On pourra utiliser la fonction polygon de SageMath. Cette fonction peut prendre en entrée une liste de nombres complexes et les afficher dans le plan.

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Question 2 : Tracer un triangle équilatéral de côté $1$, dont la base est horizontale, et dont le point "en bas à gauche" a pour coordonnées complexes $z = 1$.

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Question 3 : Appliquer la transformation complexe $z \mapsto -2z$ à tous les points qui forment ce triangle, puis tracer la figure correspondante. Quelle transformation géométrique a-t-on opéré ?

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Question 4 : Appliquer successivement (11 fois) la transformation complexe $z \mapsto e^{-i\pi/6} z$ à tous les points qui forment le triangle de la question 2, puis tracer la figure qui contient ces 11 transformations. Quelle transformation géométrique a-t-on opéré ?

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Exercice 4 : série harmonique

On considère la suite $(H_n)_{n \ge 1}$ définie comme : $H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}$. Cette suite est appelée "série harmonique".

Question 1 : Écrire une fonction H(n) qui calcule le terme $H_n$.

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Question 2 : Tracer sur un même graphique :

  • les $100$ premiers termes de la suite $H_n$,
  • la fonction $\ln(x)$ pour $x \in [1, 100]$.

Pour tracer les termes de la série harmonique, on pourra utiliser la fonction points(L) qui prend en entrée la liste de points L.

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Question 3 (plus difficile) : La différence $S_n - \ln(n)$ semble converger vers une constante. La calculer approximativement. Pour cela, on pourra calculer des termes de $u_n := S_n - \ln(n)$ jusqu'à ce que deux termes consécutifs de la suite $(u_n)$ soit distants de moins de $10^{-6}$.

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