Un polynôme est pair si ses coefficients de degré impair sont tous nuls. Il est impair si ses coefficients de degré pair sont tous nuls.
Question 1 : Écrire une fonction est_pair(P) qui teste si un polynôme P est pair.
Question 2 : Tracer, entre $-2$ et $2$, le graphe d'un polynôme pair aléatoire de petit degré (disons, $\le 6$). Que peut-on dire des symétries de ce graphe ?
Question 3 : Répéter les questions 1 et 2 pour le cas des polynômes impairs.
Question 4 : Soit $A(X)$ un polynôme réel quelconque. Que dire du polynôme $A(X) + A(-X)$ ?
Question 5 : Soit $B(X)$ un polynôme réel quelconque non-nul. Que dire du polynôme $B(X) - B(-X)$ ?
Question 1 : Construire le polynôme $$ P(X) = 2X^{6} - 3X^{5} - 13X^{4} + 29X^{3} - 27X^{2} + 32X - 12 $$ en tant que polynôme à coefficients entiers.
Question 2 : Quelles sont les racines de $P$ dans :
Question 3 : Vérifier que $P(X) = \alpha \prod_{i=1}^k (X - x_i)^{m_i}$, où :
Question 1 : Construire le polynôme $P(X) = X^2 - 2$, puis vérifier qu'il n'a aucune solution rationnelle (dans $\mathbb{Q}$) mais deux solutions réelles que l'on réprésentera comme des flottants de RR.
On souhaite maintenant voir les racines de $P$ comme $\pm \sqrt{2}$ en manipulant la valeur exacte de cette expression. Pour cela, sagemath possède un anneau particulier, noté SR (pour Symbolic Ring).
Question 2 : Calculer les racines de $P$ dans SR. Stocker l'une de ces racines dans une variable r, puis l'élever au carré, et vérifier qu'on obtient bien la valeur exacte $2$.
Question 3 : Même question avec $Q(X) = X^2 + 2$.
Question : Soit $A(X) = X^4 - X^2 + X - 1$. Trouver une expression symbolique des racines de $A$. On pourra obtenir une meilleure visualisation de cette expression grâce à la fonction show().
Soient $x_0, x_1, \dots, x_{n-1}$ des nombres (complexes par exemple) distincts et $y_0, y_1, \dots, y_{n-1}$ d'autres nombres (pas nécessairement distincts). Le problème d'interpolation consiste à calculer un polynôme $P(X)$ de degré $\le n-1$ tel que $$ P(x_i) = y_i, \quad \forall i \in \{0, \dots, n-1 \} $$
Pour cela, il existe plusieurs méthodes, la plus connue étant la méthode de Lagrange.
Pour $0 \le i \le n-1$, le $i$-ème polynôme de Lagrange associé au vecteur $\mathbf{x} = (x_0, \dots, x_{n-1})$ est : $$ L_i(X) = \prod_{j \in \{0, \dots, n-1\} \setminus \{ i \}} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} $$
Question 1 : Écrire une fonction polynome_lagrange(R, vec_x, i) qui prend en entrée un anneau de polynômes R, une liste de points d'évaluation vec_x de longueur $n$ et un entier i entre $0$ et $n-1$, et qui calcule $L_i(X)$.
Les polynômes $L_i(X)$ ainsi construits forment une base d'interpolation. On peut ainsi calculer le polynôme interpolateur $P$ grâce à la formule : $$ P(X) = \sum_{i=0}^{n-1} y_i L_i(X) $$
Question 2 : Écrire une fonction polynome_interpolateur(R, vec_x, vec_y) qui retourne le polynôme interpolateur dans l'anneau de polynômes R, associé aux listes vec_x (les valeurs $x_0, \dots, x_{n-1}$) et vec_y (les valeurs $y_0, \dots, y_{n-1}$).
Question 3 : Afficher dans un même graphique :