TP 7 : matrices et algèbre linéaire

Exercice 1 : construction et manipulation de matrices

Question 1 : Construire la matrice $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{pmatrix} $$

In [ ]:

Question 2 : Calculer et afficher :

  • le rang de $M$
  • l'inverse de $M$
  • la transposée de $M$
  • le déterminant de $M$
In [ ]:

Question 3 : Soit $$ P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

  • Construire la matrice $P$.
  • Calculer $P^2$ ; qu'obtenez-vous ?
  • Appliquez $P$ à droite de la matrice $M$ définie précédemment. Quelle transformation la matrice $M$ a-t-elle subi ?
  • Appliquez $P$ à gauche de la matrice $M$ définie précédemment. Quelle transformation la matrice $M$ a-t-elle subi ?
In [ ]:

Exercice 2 : matrices symétriques et valeurs propres

Question 1 : Créez une matrice $M$ carrée de taille $8$, dont les coefficients sont des entiers tirés aléatoirement entre $-5$ et $5$. Pour le tirage aléatoire, on pourra utiliser la fonction randrange().

In [ ]:

Question 2 : Calculez $A$, le produit de la matrice $M$ et de sa transposée $M^\top$. Vérifiez que $A$ est symétrique. Pour cela, on utilisera la fonction .is_symmetric().

In [ ]:

Question 3 : Vérifiez que toutes les valeurs propres de $A$ sont réelles et positives.

In [ ]:

Exercice 3 : résolution de systèmes linéaires

Question 1 : Résoudre le système linéaire : \[ \left{ \begin{array}{cccccccc}

    - &x &  &    & + &2 z & = & 1 \\
      & &  &y    & + &z   & = & 2 \\
     &x & - &2 y & - &5z   & = & 3
\end{array}
\right.

\] On vérifiera que la solution donnée par sagemath est correcte.

In [ ]:

Question 2 : Décrire l'ensemble des solutions du système : \[ \left{ \begin{array}{cccccccccc}

    - &x &  &    & + &2 z & - & t & = & 1 \\
      &3x & + &2y    & + &z & +  & 2t & = & 2 \\
     &x & - &2 y & - &5z  && & = & 3
\end{array}
\right.

\]

In [ ]:

Exercice 4 : interprétation géométrique de certaines applications linéaires

Le code suivant permet de déclarer dans T un triangle de couleur bleue, sont les sommets sont les vecteurs de coordonnées $(1, 1), (1, 2), (3, 1)$ présents dans la liste L.

L = [vector([1,1]), vector([1, 2]), vector([3, 1])]
T = polygon(L, color="blue")

Question 1 : Afficher ce triangle dans une figure pour laquelle les abscisses et les ordonnées varient entre $-4$ et $4$.

In [ ]:

Question 2 : On considère la matrice $$ R = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} $$

  • Déclarer la matrice $R$ pour $\theta = 2\pi/3$
  • Appliquer la matrice $R$ à chacun des vecteur de la liste L et former ainsi une liste L2 puis un triangle T2
  • Afficher le triangle T2 en rouge sur la même figure que T
  • Quelle transformation géométrique a été opérée sur le triangle ?
In [ ]:

Question 3 : On considère la matrice $$ S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

  • Déclarer la matrice $S$
  • Appliquer la matrice $S$ à chacun des vecteur de la liste L et former ainsi une liste L3 puis un triangle T3
  • Afficher le triangle T3 en vert sur la même figure que T
  • Quelle transformation géométrique a été opérée sur le triangle ?
In [ ]:

Question 4 : On considère la matrice $$ A = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} $$

  • Déclarer la matrice $A$
  • Appliquer la matrice $A$ à chacun des vecteur de la liste L et former ainsi une liste L4 puis un triangle T4
  • Afficher le triangle T4 en jaune sur la même figure que T
  • Quelle transformation géométrique a été opérée sur le triangle ?
In [ ]: