TP9 : analyse réelle, équations différentielles

Exercice 1 : quelques limites

Question 1 : Soit $f(x) = \frac{x^3+x}{x-1}$.

• Définir l'expression symbolique associée à $f$.
• Évaluer cette expression en $x=1$, que se passe-t-il ?
• Calculer la limite de $f(x)$ en $x=1$, à gauche et à droite.

Question 2 : Soit $g(x) = \frac{\sin(x)}{x}$.

• Tracer $g$ entre $-3\pi$ et $3\pi$.
• La fonction $g$ peut-elle être évaluée en $0$ ?
• Calculer la limite de $g$ en $0$ et en $+\infty$.

Question 3 : Pour $x$ fixé, calculer la limite de $h_n(x) = (1 +x/n)^n$ lorsque $n \to \infty$.

Question 4 : Pour $x$ fixé, calculer la série $$ \sum_{n=0}^{+\infty} s_n(x) \quad \text{ où } \quad s_n(x) = (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\,. $$

Question 5 : Calculer $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k}$ pour les valeurs de $k=2, 4, 6, 8, 10$.

Exercice 2 : primitives et intégrales

Question 1 : Calculer les primitives de :

• $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$
• $x \mapsto \sin(x)^2$
• $x \mapsto \frac{1}{x\ln(x)}$.

Question 2 : Calculer les intégrales suivantes :

• $\int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt$
• $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt$

Question 3 (plus difficile) : Calculer l'intégrale triple : $$ \int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\phi=-\pi}^{\pi} r cos(\phi) dr d\theta d\phi $$ Qu'a t'on calculé ici ?

Exercice 3 : équations différentielles

Question 1 : Résoudre l'équation différentielle $y' = y$ avec comme condition initiale $y(0) = 1$.

Question 2 : Trouver l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y''(t) + y(t) = t^2$.

Question 3 : Trouver l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (non-linéaire) $y'(t) = y(t)^2$.

 Exercice 4 : méthode de Newton

La méthode de Newton a pour but de trouver une valeur approchée d'un point d'annulation d'une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^1$. Comme on cherche une valeur approchée, on doit se donner une condition d'arrêt correspondant à la précision désirée.

L'algorithme est le suivant :

1. prérequis : choisir une valeur de $x_0$ et une précision $\varepsilon > 0$ proche de $0$
2. fixer $i = 1$
3. calculer $x_i = x_{i-1} - \frac{f'(x_{i-1})}{f(x_{i-1})}$
4. tant que $|x_i - x_{i-1}| > \epsilon$, incrémenter $i$ et revenir à l'étape 3
5. retourner $x_i$.

Question 1 : Écrire une fonction methode_newton(f, x0, eps) qui exécute la méthode de Newton sur la fonction f, avec la valeur initiale x0 et la précision eps

Question 2 : Utilisez votre fonction pour calculer une approximation de $\ln(2)$ à $10^{-10}$ près.

Question 3 : Testez votre fonction avec $f(x) = \sin(x)$, $\varepsilon = 10^{-10}$ et

• $x_0 = 1.0$ d'une part
• $x_0 = 2.0$ d'autre part. Que se passe-t-il ? Tenter d'expliquer pourquoi.

Question 4 : Testez votre fonction avec $f(x) = \sin(x)$, $x_0 = \pi/2$ et $\varepsilon = 0.001$. Que se passe-t-il ? Tenter d'expliquer pourquoi.