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Projet scientifique : Processus de branchement à espace continu

Processus de branchement à espace continu

Les processus de branchement en temps et espace continus (CSBPs) sont des processus de Markov réels positifs représentant l'évolution de la taille d'une population aléatoire continue dans laquelle les individus se reproduisent indépendamment et de la même façon. Ils généralisent la diffusion branchante de Feller (1958) et jouent depuis lors un rôle important dans de nombreux modèles aléatoires (modèles de population, modèles d'énergie, superprocessus, arbres aléatoires, cartes aléatoires, processus affines, coalescents,...). Au début des années 2000, des travaux profonds ont été menés pour comprendre la généalogie de la population associée à ces processus. Cela a mené à de nombreux résultats sur les arbres aléatoires de Lévy et sur certains flots de subordinateurs emboîtés [6,7,9,12,13,14,18]. De nouveaux travaux ont récemment permis d'étudier les généalogies ascendantes des CSBPs à travers des processus de coalescence Markoviens ou des processus ponctuels de coalescence: [2,9,19,21,23].
Les CSBPs ont été depuis généralisés dans de multiples directions. Des dynamiques d'immigration ont été très tôt considérées [24], enrichissant ainsi les comportements possibles aux frontières et en temps long (extinctions locales dans la population, récurrence) [1,10,19], et les généalogies [11,17,25]. Des liens importants ont été découverts entre processus conditionnés à la non-extinction et processus avec immigration [27]. Les CSBPs en environnement aléatoire ont également reçu une attention particulière [4,5], si ces processus satisfont toujours une propriété de branchement, ils sont difficiles à étudier car l'environnement sous-jacent induit des équations différentielles stochastiques rétrogrades difficiles à manipuler. Encore dans une autre direction, sous l'impulsion d'un travail de Lambert [26], des modèles de population avec compétition entre les individus ont également été pris en compte récemment [3,15,16,22,29,30,31]. Dans ce cas la propriété de branchement classique n'est plus satisfaite et l'étude des processus nécessite une approche différente. Les comportements aux points frontières ainsi que l'étude des temps d'atteinte forment alors des questions intéressantes, qui bien que classiques dans la théorie générale des processus de Markov, sont rarement accessibles explicitement en présence de sauts (et donc d'un opérateur pseudo-différentiel du point de vue analytique). En présence d'interactions, différentes structures peuvent apparaître et remplacer celle de branchement lorsque des interactions sont prises en compte. Des relations de dualité, typiques en théorie des systèmes de particules, ont ainsi été utilisées pour étudier des processus de branchement avec interactions: [15,16,22]. Pour clore ce bref état de l'art sur les CSBPs, mentionnons les travaux récents portant sur la généalogie des populations avec interactions (arbres aléatoires ``sous attaque'' et représentations de type Ray-Knight) [3,29,32], ainsi que les travaux sur les processus de branchement multidimensionnels [8,23].

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Voir aussi :

Contacts : Clément Foucart,

Références :

  1. Romain Abraham and Jean-François Delmas, Changing the branching mechanism of a continuous state branching process using immigration, Annales de l'Institut Henri Poincaré B: Probabilités et Statistiques, 2009.
  2. Romain Abraham and Jean-François Delmas and Hui He, Some properties of stationary continuous state branching processes, Stochastic Processes Appl., 2021/
  3. Mamadou Ba and Etienne Pardoux Branching processes with interaction and a generalized Ray-Knight theorem. Ann. Inst. H. Poincaré Prob. Statist., (2015).
  4. Vincent Bansaye, Juan Carlos Pardo Millan and Charline Smadi, On the extinction of continuous state branching processes with catastrophes, Electron. J. Probab., 2013.
  5. Vincent Bansaye, Maria-Emilia Caballero et Sylvie Méléard, Scaling limits of population and evolution processes in random environment, Electron. J. Probab. 2019.
  6. Jean Bertoin and Jean-François Le Gall, The Bolthausen-Sznitman coalescent and the genealogy of continuous-state branching processes, Probab. Theory Related Fields 117 (2000), no. 2, 249--266.
  7. Hongwei Bi and Jean-François Delmas, Total length of the genealogical tree for quadratic stationary continuous-state branching processes, Annales de l'Institut Henri Poincaré. Probabilités et Statistiques, 2016.
  8. Loïc Chaumont, Marine Marolleau, Extinction times of multitype, continuous-state branching processes, arXiv:2109.02912, 2022+.
  9. Yu Tin Chen, Jean-François Delmas, Smaller population size at the MRCA time for stationary branching processes. The Annals of Probability, 40(5), (2012) 2034-2068.
  10. Xan Duhalde, Clément Foucart, and Chunhua Ma, On the hitting times of continuous-state branching processes with immigration, Stochastic Process. Appl., 124 (2014), no.~12, 4182--4201.
  11. Thomas Duquesne, Continuum random trees and branching processes with immigration. Stochastic processes and their applications, 119(1), (2009) 99-129.
  12. Thomas Duquesne and Cyril Labbé, On the Eve property for CSBP, Electron. J. Probab. 19 (2014), no. 6, 31.
  13. Thomas Duquesne and Jean-François Le Gall, Random trees, Lévy processes and spatial branching processes, Astérisque (2002), no.~281, vi+147.
  14. Thomas Duquesne and Matthias Winkel, Growth of Lévy trees, Probab. Theory Related Fields 139 (2007), no.~3-4, 313--371.
  15. Clément Foucart, Continuous-state branching processes with competition: duality and reflection at infinity, Electron. J. Probab. 2019.
  16. Clément Foucart, On the local explosions and extinction of continuous-state branching processes with logistic competition, Available on ArXiv, 2022+
  17. Clément Foucart and Olivier Hénard. Stable continuous-state branching processes with immigration and Beta-Fleming-Viot processes with immigration. Electronic Journal of Probability 18 (2013): 1-21.
  18. Clément Foucart and Chunhua~Ma, Continuous-state branching processes, extremal processes and super-individuals, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 55 (2019), no. 2, 1061-1086.
  19. Clément Foucart, Chunhua Ma, and Bastien Mallein, Coalescences in continuous-state branching processes, Electron. J. Probab. 24 (2019), no. 103.
  20. Clément Foucart, Chunhua Ma, and Linglong Yuan, Limit theorems for continuous-state branching processes with immigration, à paraître dans Advances in Applied Probability. 54(2) , June 2022.
  21. Clément Foucart and Martin Möhle, Asymptotic behaviour of ancestral lineages in subcritical continuous-state branching populations, Available on ArXiv, 2022+
  22. Clément Foucart and Xiaowen Zhou, On the boundary classification of $\Lambda$-Wright-Fisher processes with frequency-dependent selection. A paraître dans les Annales Henri Lebesgue.
  23. Samuel Johnston and Amaury Lambert, The coalescent structure of uniform and Poisson samples from multitype branching processes, Available on ArXiv, 2022+
  24. Kiyoshi Kawazu and Shinzo Watanabe. Branching processes with immigration and related limit theorems. Theory of Probability & Its Applications 16.1 (1971): 36-54.
  25. Amaury Lambert, The genealogy of continuous-state branching processes with immigration. Probability theory and related fields, 122(1), 42-70. (2002)
  26. Amaury Lambert, The branching process with logistic growth. The Annals of Applied Probability 2005, Vol. 15, No. 2, 1506-1535.
  27. Amaury Lambert, Quasi-stationary distributions and the continuous-state branching process conditioned to be never extinct. Electronic Journal of Probability, (2007), 12, 420-446.
  28. Amaury Lambert and Lea Popovic, The coalescent point process of branching trees, Ann. Appl. Probab. 23 (2013), no.~1, 99--144.
  29. Vi Le and E. Pardoux and A. Wakolbinger, ``Trees under attack'': a Ray-Knight representation of Feller's branching diffusion with logistic growth, Probability Theory and Related Fields, 2013
  30. V. Le and E. Pardoux. Extinction time and the total mass of the continuous-state branching processes with competition, Stochastics, 2019, 1-24.
  31. Aline Marguet and Charline Smadi, Long time behaviour of continuous-state nonlinear branching processes with catastrophes, Electron. J. Probab., 2021.
  32. Etienne Pardoux. Probabilistic models of population evolution. Scaling limits, genealogies and interactions Springer, 2016