Processus de Galton-Watson
Les processus de Galton-Watson modélisent l'évolution d'une population où chaque individu se reproduit indépendamment des autres selon une loi donnée. Bien que simpliste et déjà très ancien (le modèle a été introduit indépendamment par Bienaymé en 1845 et Galton en 1873), celui-ci fait toujours l'objet d'une recherche très active, notamment ce qui concerne l'arbre généalogique associé.
La transition de phase de l'arbre de Galton-Watson est bien connue : si le nombre moyen d'enfant de chaque individu est plus petit que 1, alors l'arbre s'éteindra presque sûrement, tandis que si ce nombre est plus grand que 1, alors la population peut survivre avec probabilité positive, et dans ce cas elle croîtra à vitesse exponentielle. Depuis les années 2000, beaucoup de travaux ont été consacrés à la description d'arbres de Galton-Watson conditionnés à des évenements atypiques, comme conditionner un abre sous-critique à être gros. On s'intéresse alors à décrire le comportement asymptotique de ce type de conditionnement. Cela peut être le comportement asymptotique de certaines quantités liées à ces arbres [4,5,7,8,11,14,19], les limites locales de ces arbres [1,3,18] ou leur limite d'échelle [12,17]. Il reste notamment beaucoup de questions ouvertes lorsqu'un phénomène de condensation apparaît c'est-à-dire lorsque le degré d'un noeud croit jusqu'à devenir infini à la limite [2,10,13,15]. Les limites d'échelle de ces arbres conditionnés sont des arbres continus (voir section suivante) et des questions similaires sur les arbres continus peuvent être étudiées. La question de la condensation est alors largement ouverte puisque les arbres limites que nous devons considérer ne sont plus compacts (ni même localement compacts), ce qui sort totalement du cadre usuel d'étude.
Les généralisations aux cas multi-types et/ou environnements aléatoires ont également donné lieu à de nombreuses études. On peut par exemple étudier la vitesse d'extinction dans les cas critiques ou sous-critiques [16,20] ou le comportement aysmptotique de la population dans le cas sur-critique [9]. En particulier, les critère génériques de survie et les comportements asymptotiques d'un processus de Galton-Watson avec un nombre infini dénombrable de types [6] reste encore largement ouvert.
Les arbres de Galton-Watson forment une classe d'objet générique très populaire, qu'on retrouve naturellement dans de très nombreux problèmes fondamentaux et appliqués. Ils sont une représentation classique de structures de données en informatique, décrivent le comportement locaux des grands graphes aléatoires ou les cascades de contamination dans une épidémie, permettent de proposer des modèles neutres de génétique de populations, etc.
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Voir aussi :
Contacts : Romain Abraham,
Références :
- R. Abraham and J.F. Delmas, Local limits of conditioned Galton-Watson trees: the infinite spine case, Elec. J. of Probab., 2014.
- R. Abraham and J.F. Delmas, Local limits of conditioned Galton-Watson trees: the condensation case, Elec. J. of Probab., 2014.
- R. Abraham and J.F. Delmas, Asymptotic properties of expanding Galton-Watson trees, Elec. J. of probab., 2019.
- R. Abraham, J.F. Delmas and M. Nassif, Global regime for general additive functionals of conditioned Bienaymé-Galton-Watson tree, Probab. Th. and rel. Fields, 2022.
- L. Addario-Berry, L. Devroye and S. Janson, Sub-Gaussian tail bounds for the width and height of conditioned Galton-Watson trees, Ann. Probab., 2013.
- D. Bertacchi, P. Braunsteins, S. Hautphenne, and F. Zucca, Extinction probabilities in branching processes with countably many types: a general framework, ALEA, 2022.
- N. Broutin, L. Devroye and N. Fraiman, Recursive functions on conditional Galton-Watson trees, Random Structures Algorithms, 2020.
- J. Fill and S. Janson, The sum of powers of subtree sizes for conditioned Galton-Watson trees, preprint arXiv:2104.02715, 2021.
- I. Grama, Q. Liu, E. Pin, Convergence in Lp for a supercritical multi-type branching process in a random environment, preprint hal-02934079, 2020.
- S. Janson, Simply generated trees, conditioned Galton-Watson trees, random allocations and condensation, Probab. Surveys, 2012.
- S. Janson, Asymptotic normality of fringe subtrees and additive functionals in conditioned Galton-Watson trees, Random Struct. and Algo., 2016.
- I. Kortchemski, Invariance principles for Galton-Watson trees conditioned on the number of leaves, Stoch. Proc. Appl., 2012.
- I. Kortchemski, Limit theorems for conditioned nongeneric Galton-Watson trees, Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist., 2015.
- I. Kortchemski, Sub-exponential tail bounds for conditioned stable Bienaymé–Galton–Watson trees, Probab. Theory Related Fields, 2017.
- I. Korchemski and L. Richier, Condensation in critical Cauchy Bienaymé-Galton-Watson trees, Ann. Appl. Probab., 2019.
- E. Le Page, M. Peigné and C. Pham, The survival probability of a critical multi-type branching process in i.i.d. random environment, Ann. Probab., 2018.
- D. Rizzolo, Scaling limits of Markov branching trees and Galton-Watson trees conditioned on the number of vertices with out-degree in a given set, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat., 2015.
- B. Stufler, Local limits of large Galton-Watson trees rerooted at a random vertex, Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat., 2019.
- P. Thévenin, Vertices with fixed outdegrees in large Galton-Watson trees, Electron. J. Probab., 2020.
- V. Vatutin, and V Wachtel, Multi-type subcritical branching processes in a random environment, Advances in Applied Probability, 2018.