L'objectif
de cet atelier composé de 4 minicours de 6h (3x2h) est d'offrir un panorama de différentes techniques ou problèmes
autour des problèmes inverses, outils spectraux et
microlocaux, EDPs stochastiques, applications à la tomographie
ou l'imagerie médicale. Les conférenciers, Marion
Darbas (Université de Paris XIII), Josselin Garnier (Ecole
Polytechnique), Colin Guillarmou (Paris Saclay) et Alexei Iantchenko
(Malmö University) commenceront par une partie introductive, en
direction des doctorants, jeunes chercheurs ou non spécialistes,
sur leur domaine de travail.
Etant donné le nombre limité de places, les personnes souhaitant participer à cette conférence, doivent se signaler en envoyant un mail ICI
Comité Scientifique: David Dos-Santos Ferreira (Université de Lorraine), Jérôme Le Rousseau (Université de Paris XIII), Raymond Brummelhuis (Université de Reims-Champagne Ardennes), Andrea Mantile (Université de Reims-Champagne Ardennes), Francis Nier (Université de Paris XIII), Maher Zerzeri (Université de Paris XIII).
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In this lecture we will study wave propagation in random media using multiscale analysis. We will show how the wave becomes incoherent (its expectation goes to zero) while the incoherent wave fluctuations can be described by a radiative transfer equation (satisfied by the mean Wigner transform of the wavefield). We will introduce the limit theorems that make it possible to derive these results and we will study some physically relevant situations.
Dans
ce cours,
je présenterai
tout d’abord l’étude
mathématique
d’une
technique de neuro-imagerie :
l’électroencéphalographie
(EEG).
Ces
travaux sont issus d’un projet pluridisciplinaire alliant
mathématiques appliquées et neurophysiologie avec
l’objectif
de mieux comprendre l’examen EEG chez les prématurés
et les nouveaux-nés.
Je
commencerai par expliquer le contexte clinique. Je donnerai des
éléments sur la
modélisation
du problème direct en EEG. Le modèle met en jeu une
équation elliptique avec un terme source singulier. Je
passerai ensuite à l’étude du
problème
inverse de
sources en EEG.
Je démontrerai des résultats
d’identifiabilité et de stabilité. Puis, je
présenterai le principe de différentes approches de
reconstruction numérique de sources, en particulier un travail
en cours mêlant
la méthode de quasi-réversibilité
et des techniques d’approximations
rationnelles.
Des simulations numériques pour un
modèle de tête 3D d’un nouveau-né
illustreront l’étude.
Ces
résultats sont issus de différents travaux et
collaborations avec Malal Diallo (INRIA Bordeaux), Abdellatif El
Badia (UTC, Compiègne), Juliette Leblond (INRIA Sophia),
Stephanie Lohrengel (LMR, Reims), Jean-Paul Marmorat (CMA, Sophia
Antipolis), Pierre-Henri Tournier (LJLL), et l’équipe
INSERM GRAMFC du CHU
d’Amiens.
Dans
la dernière partie du cours, j’aborderai une autre
application; celle du diagnostic d’Accidents Vasculaires
Cérébraux. Le problème inverse associé
est un problème d’identification de paramètres
diélectriques dans un domaine borné (modélisant
le cerveau). Je traiterai des questions à la fois théoriques
et numériques pour sa résolution.
Ces
résultats sont issus de différents travaux et
collaborations avec Maya de Buhan (Orsay), Jérémy
Heleine (INRIA
Poems),
Stephanie Lohrengel (LMR, Reims),
Frédéric
Nataf (LJLL) et Pierre-Henri Tournier (LJLL).
An
old inverse problem in Riemannian geometry consists in the
determination of a Riemannian metric
from
the lengths of its geodesics. This can be in the setting of
domains/manifolds with boundary, where one measures the lengths of
geodesics with endpoints on the boundary, or on closed manifold where
one measures the lengths of periodic geodesics.
This
is a non-linear inverse problem, and its linearization is called the
geodesic X-ray transform. The first step is to understand the
properties of this operator, which maps tensors (or functions) on the
domain/manifold to functions on the set of geodesics. In certain
cases this operator has nice microlocal properties, which allow to
prove Fredholm properties and stability estimates. Using this tool,
one can then obtain local invertibility results for the non-linear
problem. I will explain certain aspects of these inverse problems.
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9h Accueil des participants
9h30-11h30: Alexei Iantchenko (part1)
13h-15h: Josselin Garnier (part1)
15h15-17h15: Alexei
Iantchenko (part2)
9h30-11h30 : Josselin Garnier (part2)
13h-15h: Alexei Iantchenko (part3)
15h15-17h15: Josselin Garnier (part3)
10h-12h: Marion Darbas (part1)
13h30-15h30: Colin Guillarmou (part1)
15h45-17h45: Marion Darbas (part2)
10h-12h; Colin Guillarmou (part2)
13h30-15h30: Marion Darbas (part3)
15h45-17h45: Colin Guillarmou (part3)