ATELIER AUTOUR DES PROBLEMES INVERSES
20-21 juin 2022 (IHP) et

04-05 juillet 2022 (LAGA-Paris XIII)

Présentation

Titres et Résumés

Programme Détaillé


Présentation




L'objectif de cet atelier composé de 4 minicours de 6h (3x2h) est d'offrir un panorama de différentes techniques ou problèmes autour des problèmes inverses, outils spectraux et microlocaux, EDPs stochastiques, applications à la tomographie ou l'imagerie médicale. Les conférenciers, Marion Darbas (Université de Paris XIII), Josselin Garnier (Ecole Polytechnique), Colin Guillarmou (Paris Saclay) et Alexei Iantchenko (Malmö University) commenceront par une partie introductive, en direction des doctorants, jeunes chercheurs ou non spécialistes, sur leur domaine de travail.

Etant donné le nombre limité de places, les personnes souhaitant participer à cette conférence, doivent se signaler en envoyant un mail ICI

Comité Scientifique: David Dos-Santos Ferreira (Université de Lorraine), Jérôme Le Rousseau (Université de Paris XIII), Raymond Brummelhuis (Université de Reims-Champagne Ardennes), Andrea Mantile (Université de Reims-Champagne Ardennes), Francis Nier (Université de Paris XIII), Maher Zerzeri (Université de Paris XIII).

     

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Titres et Résumés



"Multiscale analysis of wave propagation in random media", 
cours de Josselin Garnier (20-21/06/22)

In this lecture we will study wave propagation in random media using multiscale analysis. We will show how the wave becomes incoherent (its expectation goes to zero) while the incoherent wave fluctuations can be described by a radiative transfer equation (satisfied by the mean Wigner transform of the wavefield). We will introduce the limit theorems that make it possible to derive these results and we will study some physically relevant situations.


"Semiclassical inverse spectral and  resonance problems in semiclassical surface-wave tomography", 
cours d'Alexei Iantchenko (20-21/06/22)
The propagation of such waves is governed by effective Hamiltonians on the boundary with a space-adiabatic behavior. Effective Hamiltonians of surface waves correspond to eigenvalues of ordinary differential operators, which, to leading order, define their phase velocities. Using these Hamiltonians, we obtain pseudodifferential surface wave equations. Then we carry out the semiclassical construction of general surface wave parametrices. In the process, we introduce locally Schrödinger-like operators in the boundary normal coordinate and their eigenvalues signifying effective Hamiltonians in the boundary (tangential) coordinates describing surface-wave propagation. In case of isotropic medium the surface wave decouples up to principal parts into Love and Rayleigh waves associated to scalar and matrix spectral problems, respectively. Since the mathematical features (such as spectrum, resonances) of these problems can be extracted from the seismograms, we are interested in recovering the Lamé parameters from these data.

Plan of lectures:

  1. Semiclassical description of surface waves.
  2.  Semiclassical inverse spectral problems for Love and Rayleigh waves: conditional recovery of S-wave speed using the semiclassical spectra as the data. 
  3.  Recovery of S-and P-wave speeds from the discrete and continuous spectra using the exact methods for Sturm-Liouville operators: Gel’fand-Levitan-Marchenko approach.
  4. Leaking modes as analogues of scattering resonances.



"Problèmes inverses et applications médicales", 
cours de Marion Darbas (04-05/07/22)

Dans ce cours, je présenterai tout d’abord létude mathématique dune technique de neuro-imagerie : l’électroencéphalographie (EEG). Ces travaux sont issus d’un projet pluridisciplinaire alliant mathématiques appliquées et neurophysiologie avec lobjectif de mieux comprendre l’examen EEG chez les prématurés et les nouveaux-nés.

Je commencerai par expliquer le contexte clinique. Je donnerai des éléments sur la modélisation du problème direct en EEG. Le modèle met en jeu une équation elliptique avec un terme source singulier. Je passerai ensuite à l’étude du problème inverse de sources en EEG.

Je démontrerai des résultats d’identifiabilité et de stabilité. Puis, je présenterai le principe de différentes approches de reconstruction numérique de sources, en particulier un travail en cours
mêlant la méthode de quasi-réversibilité et des techniques dapproximations rationnelles.

Des simulations numériques pour un modèle de tête 3D d’un nouveau-né illustreront l’étude.

Ces résultats sont issus de différents travaux et collaborations avec Malal Diallo (INRIA Bordeaux), Abdellatif El Badia (UTC, Compiègne), Juliette Leblond (INRIA Sophia), Stephanie Lohrengel (LMR, Reims), Jean-Paul Marmorat (CMA, Sophia Antipolis), Pierre-Henri Tournier (LJLL), et l’équipe INSERM GRAMFC du CHU
d
Amiens.

Dans la dernière partie du cours, j’aborderai une autre application; celle du diagnostic d’Accidents Vasculaires Cérébraux. Le problème inverse associé est un problème d’identification de paramètres diélectriques dans un domaine borné (modélisant le cerveau). Je traiterai des questions à la fois théoriques et numériques pour sa résolution.

Ces résultats sont issus de différents travaux et collaborations avec Maya de Buhan (Orsay), Jérémy Heleine (INRIA Poems), Stephanie Lohrengel (LMR, Reims), Frédéric Nataf (LJLL) et Pierre-Henri Tournier (LJLL).




"Rigidity problems and geodesic X-ray ",
 cours de Colin Guillarmou (04-05/07/22)

An old inverse problem in Riemannian geometry consists in the determination of a Riemannian metric
from the lengths of its geodesics. This can be in the setting of domains/manifolds with boundary, where one measures the lengths of geodesics with endpoints on the boundary, or on closed manifold where one measures the lengths of periodic geodesics.
This is a non-linear inverse problem, and its linearization is called the geodesic X-ray transform. The first step is to understand the properties of this operator, which maps tensors (or functions) on the domain/manifold to functions on the set of geodesics. In certain cases this operator has nice microlocal properties, which allow to prove Fredholm properties and stability estimates. Using this tool, one can then obtain local invertibility results for the non-linear problem. I will explain certain aspects of these inverse problems.






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Programme détaillé